こんにちは！
大学受験エリートのSuuです。
高校数学の勉強法のポイント、見どころなどを単元別に紹介していく、
るるぶ高校数学のコーナーです。
今回は、
数B 数列 その３ 等差数列
について紹介します。
→前回
等差数列の勉強を始める前に、必ず
の内容を知っておいて欲しいです。
『等差数列』などと仰々しい名前がついていますが、
一番簡単な数列
だと思ってOKです。
数列の記号に慣れるために、扱いやすい数列で練習していこう！
というのが等差数列です。
この意識を忘れて、
「公式を覚えて、当てはめて頑張ろう」
とすると、まっしぐらに数列が苦手になります。
注意して、勉強に取り組みましょう。
ポイント① 等差数列で、覚えるべき公式は１つだけ
等差数列って何？
を説明する前に、一番大事な注意をします。
教科書や参考書をみると、等差数列に関する色々な公式が載っています。
ですが、覚える公式は１つだけでいいです。
覚える公式ですが、
等差数列の和＝（最初＋最後）×（個数）÷２
だけです。
初見時は意味不明かと思いますが、よ～く見ると、
三角形の面積＝（底辺）×（高さ）÷２
と同じ程度の複雑さしかありません。
２次方程式の解の公式などを覚えてきた皆さんなら、
この程度の式を覚えるなんて楽勝ですよ。
（余談： 比較として出した２つの公式ですが、導き方も似ていたりします。）
ポイント② 同じ数を足していくのが等差数列
「同じ数」をどんどん足してできた数列が、等差数列です。
例を見ていきましょう。
例えば、「＋１」をする数列なら、
1,2,3,4,5,……
-3,-2,-1,0,1,2,……
などです。
「＋３」をする数列なら、
2,5,8,11,14,……
「ー２」をする数列なら、
10,8,6,4,2,0,-2,……
イメージしやすい数列ですね。
どんどん足していく「同じ数」のことを、公差といいます。
ポイント③ 一般項は、「公差を何回足したか」を考えよう
公差が「＋３」の等差数列
2,5,8,11,14,……
について考えてみます。
数列の記号も使って書いておきましょう。
a1=2, a2=5, a3=8, a4=11, a5=14,……
添え字ばかりで最初は慣れませんが、
段々とこういう記号に慣れていきましょうね。
さて、
２番目の数は、１番目の数に「＋３」を足したもの
３番目の数は、２番目の数に「＋３」を足したもの
４番目の数は、３番目の数に「＋３」を足したもの
……
として作った数列でした。
ここから、
「１番目の数に、何回足したことになるのか？」
に注目して考えてみましょう。
２番目の数は、１番目の数に「＋３」を１回足したもの
３番目の数は、１番目の数に「＋３」を２回足したもの
４番目の数は、１番目の数に「＋３」を３回足したもの
５番目の数は、１番目の数に「＋３」を４回足したもの
……
となることが分かります。
青くしたところに注目しましょう！
「〇番目」と「△回」の数は、△の方が１つ少なくなっています。
〇番目の数は、１番目の数に「＋３」を（〇ー１）回足したもの
と言えます。
「〇」の代わりに「文字n」で書いてあげると、
n番目の数は、１番目の数に「＋３」を(n-1)回足したもの
となります。これを、数列の記号であらわすと
an=a1+3×(n-1)
となります。
最初の数a1は２でしたから、
an=2+3(n-1)
an=3n-2
が一般項と分かります。
等差数列の一般項を考えるときは、
n番目は、最初の数に公差を何回足したものか？
を考えます。
そして、
n番目は、最初の数に、公差dを(n-1)回足したもの
なので、
an=a1+d(n-1)
となります。
この式が、「等差数列の一般項」として学習する式です。
ただ、「覚える」よりもその意味をとらえましょう。
n番目は、最初の数に公差を何回足したものか？
→n番目は、最初の数に、公差dを(n-1)回足したもの
→an=a1+d(n-1)
もしも覚えるなら、この３行をセットにしましょう。
ポイントは２つあります。
㋐「n番目は、最初の数に、公差dを(n-1)回足したもの」と捉えられるか
㋑記号の意味を理解して、「an=a1+d(n-1)」と表現できるか
の２点です。
㋐、㋑を意識して、等差数列の一般項を習得していきましょう。
間違っても、「とりあえず公式を覚えよう」としないように！
ポイント④ 等差数列は「nの１次式」
先ほどの公式は覚えるよりも、「考え方」と「意味」を習得して欲しいものでした。
もしも覚えるなら、次の形で覚えるのをオススメします。
等差数列は「nの1次式」
つまり、
an=pn+q
こちらの形で覚えておく方がいいと思っています。
逆に、「nの１次式」をみたら、「等差数列だ！」と気づけることも大切です。
ちなみに、この形のとき、
「p」が「公差」になっています。
an=n+1なら公差は１
an=2n+4なら公差は2
an=-3n+1なら公差は-3
といった具合です。
そうそう。上級者は、
an=pn+q
を「１次関数」と比較して遊んでみましょう。
ｐは公差だと言いましたが、１次関数なら「傾き」と呼ばれます。
意味を考えてみると、同じものだと分かりますよ。
また、例えば
傾きがd、n=1のときa1になるnの1次関数
を「１次関数の公式」で考えると
an=d(n-1)+a1
となります。
この記事のどこかで紹介した式と同じなので、
探し出して、意味を考えてみましょう。
ポイント⑤ 和の公式は「三角形の面積」
等差数列の和は
等差数列の和＝（最初＋最後）×（個数）÷２
となります。
覚えるイメージとして、
三角形の面積公式のなかま
と思うのがオススメです。
三角形の面積＝（底辺）×（高さ）÷２
ほら、なんか似てませんか？
実は、公式の説明もほとんど同じだったりします。
（階段状の図形を２つ用意する説明パターンですね。）
もちろん、すぐに思い出せる人は、
わざわざ公式として暗記しなくてもOKです。
さて。
実際の勉強で学習する公式は、ちょっと違う形かもしれません。
S＝n(a+l)/2
S＝n{2a+(n-1)d}/2
手持ちの参考書を開いたところ、上記のような式が載っていました。
ハッキリ言って、忘れてOKと思います。
知らなくて困ったことはありません。
等差数列の和＝（最初＋最後）×（個数）÷２
の形で習得した方が、色々と汎用性がききます。
この形で、あらゆる場合に対応できますから、安心して下さい。
納得いかない！
不安だ！
と言う人に補足すると、
三角形の面積＝（底辺）×（高さ）÷２
で対応できない場面ってありましたか。
逆に、
S=ah/2
なんて公式、使えなくて困ったことありませんよね。
それと同じですよ！
長々とと紹介してきました。
個人的な意見ですが、参考書の等差数列を見ていると、
「いらない公式ばかり」
と感じます。
あえて、大げさなことを言います。
等差数列の一般項の公式を覚えようとした時点で
数列の単元は負け。苦手まっしぐら。
だと思います。
以前の記事で紹介した通り、
「公式を覚える」ではなく、
「記号の意味を習得する」「記号になれる」
を意識して、取り組んで欲しいです。