大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを、具体的に紹介していきます。
今回扱うのは、
高３トップレベル数学Ⅲ
第７講 挟んで極限
です。
この記事では、チャプター１、２について扱います。
「挟んで極限」がテーマということで、
「はさみうちの原理」に関する問題です。
「はさみうちの原理」は、「理解する・納得する」のは非常に簡単な一方、
実戦で使うのは容易でない定理の典型です。
「はさみうちの原理」を使う場合、
上下からの評価（対象よりも大きい式と、小さい式）が必要です。
誘導がついている問題は、誘導に乗っかって上下から評価すればOKです。
一方、トップレベルの大学受験数学では、誘導がついていないことも多いです。
その場合、上下から評価する式を自力で見つけなければいけません。
問題集の模範解答だけ読んで勉強していると、
どこからともなく絶妙な式変形が出てきて、
綺麗に一発ではさみうちの原理が決まる
ように見えますが、実際はそうではありません。
闇雲に計算していても、絶妙な不等式評価にはたどり着けないのです。
この講座では、
上下の評価式を自力で見つける際のコツ・ポイント
が紹介されています。
ぜひ、はさみうちの原理を実戦で使うポイントを、この授業動画で学習して下さい。
チャプター１、２では問題［A］の（１）、（２）が解説されています。
問題［A］の解説が非常にコンパクトにまとまっていますが、
その中に重要なエッセンスがたくさん入っています。
トップレベルらしく、テンポの速いに授業になっていますが、
重要なエッセンスの部分を１つひとつご紹介したいと思います。
Chapter1
問題（１）を解説するチャプターのように見えますが、本質は
「問題（２）のための準備」
がポイントのチャプターです。
開始～６分０秒の間は、
微分（→省略されていますが、増減表）を利用して、解の配置を調べる解法が紹介されています。
基本的な処理法であり、不等式の証明などにも利用できて、
非常に汎用性が高い手法です。
不安な人は、授業動画で復習しておきましょう。
６分０秒からラストまでは、
与えられた方程式を変形して処理する方法です。
問題（１）を処理するだけなら、微分して増減表で十分です。
ですが、次の問題（２）では「解の極限」を求める必要があります。
はさみうちの原理で攻めていくことになりますが、その際……
テクニック①
はさみうちの原理を利用するとき、
可能ならば、極限値を予想しよう！
はさみうちの原理を使う場合、
『同じ値に収束する、上下ふたつの式』
を用意することになりますが、
闇雲に上下から評価しても、中々うまくいきません。
例えば、収束先が「１」と分かっていれば、
「１」に収束する二つの式で、上下からはさめばいい
と、用意するべき式が明確になります。
テクニック②
絶対でかこってから評価する
さらに、an→1ではなく、
|an-1|→0
とした方が扱いやすいです。
具体的には、
|an-1|を、0に収束する式で上からおさえる
として、はさみうちの原理を使うのがコツです。
（チャプター２で紹介される内容ですが、
テクニック①とセットで覚えてほしいので、ここで紹介しました。）
さて、
収束値を予想する
のがポイントなのですが、
どうしたらanの収束値の予想が立てられるのでしょうか。
テクニック③
「定数nのある部分」と、「定数nのない部分」に分ける。
動画の７分０秒ごろから紹介されているテクニックです。
はさみうちの原理に関するテクニックというより、
係数に文字が入った方程式を扱うときのテクニック
です。
解の配置問題などでも使う超重要テクニックで、
2x3+3nx2-3(n+1)=0 の解が……
という問題をみたら、授業で紹介された
3n(x2－1)=3－2x3
の式や、
n=(3－2x3)/3(x2－1)
の式にしたらどうか？
から考えます。
トップレベルを目指す人は、
どう解こうかな？ と考える前に、
上記のパターンへの変形がどうなるか？
から考えるクセをつけましょう。
先生が、８分０秒から８分２０秒ごろで言っていますが、
慣れてくると「一瞬で」それぞれの式への変形が考えられるようになります。
その中で、
「この問題は、どの形の式で考察するのがよいかな？」
と考えられるようになると、数学の実力が高いレベルで安定してきます。
Chapter2
問題（２）の解説です。
チャプター１で、anの収束先は１と予想できています。
そのため、どうやって
an→1 n→∞
を示すのか？
が焦点です。
ここで使うのがはさみのうちの原理なのですが、
|an-1|→0
を示すのが手筋です。
（この記事のチャプター１の中で、先にテクニック②として紹介しました。）
一見、絶対値を使うとより難しくなるように感じるかもしれませんが、
上下からではなく、上からだけおさえればいい
という大きな利点があります。
|an-1| > 0
と、下からの評価は自明なため、上からの評価だけ考えればいいのですね。
さて、３分２０秒から３分４０秒の間！
サラリと流してしまいそうですが、ここでの先生の話が大変重要です。
ここの部分が、
どうやって、自力で評価する不等式を見つけるのか？
のコツです。
an-1の式を眺めながら、
n→∞としたとき、もしもanが定数だったら、
an－1が0に収束するって言えるのになあ
と気づけるかどうか。
この、
「……だったら、いいのになあ」
という発想が、一つのコツです。
anが定数だったらいいのになあ。
→anの動く範囲を上や下からおさえられれば、anを定数にとりかえた式でおさえられるなあ
→あっ、anの動く範囲は、問題（１）の考察から分かっているじゃないか！
というように、
「……だったら、いいのになあ」
から出発して、評価する不等式を見つけるのが、
今回の授業動画で扱われているテクニックです。
この、
「……だったら、いいのになあ」
は、はさみうちの原理に限らず有用なのですが、
特に不等式評価の問題では重要になります。
「……だったら、いいのになあ」
から始めて不等式を見つけていく思考過程とその呼吸を、
ぜひこの授業動画から吸収しましょう。