スタディサプリ 高1・高2トップレベル数学ⅠAⅡB 第36講 相加平均と相乗平均 チャプター1~3|大学受験エリート

スタディサプリ 高1・高2トップレベル数学ⅠAⅡB 第36講 相加平均と相乗平均 チャプター1~3

大学受験エリートのSuuです。

この記事では、スタディサプリの映像授業について、

「オススメの視聴法」

「授業のポイント」

などを、具体的に紹介していきます。

 

今回扱うのは、

高1・高2トップレベル数学ⅠAⅡB 第36講

相加平均と相乗平均

です。

 

 

ついに来ました、相加・相乗平均の不等式

x,y > 0 のとき、

(x+y)/2≧√xy

という関係ですね。

左辺が相加平均、右辺が相乗平均です。

 

最大値・最小値を計算する上で役立つ、大学受験数学の重要テクニックです。

一方で、誤答量産機としても名高い有名不等式です。

使いこなせば、最大・最小計算の大幅なショートカットが可能な一方で、

使い方を間違えると自滅を招く不等式です。

まさしく、諸刃の剣。

 

正しい型を習得しないと、危険な技です。

とはいえ、決まったときのリターンが大きいため、トップレベルを目指すうえで避けて通れません。

この授業動画で、正しい使い方をしっかりマスターしましょう。

 

Chapter1

この講座の最重要チャプターです。

このチャプターの内容が魂に刻まれるまで、視聴しましょう。

繰り返し見てもいいと思います。

 

見どころ① 相加・相乗平均の不等式の証明

親切なことに、相加・相乗平均の不等式の証明から説明してくれています。

因数分解の仕方がカッコいいので、知らない人は見ておきましょう。

授業の先生は、「有理化……」とたびたび呟いていますが、私は対数をとって対数関数のグラフの凸性で落とすのが好みです。

両辺を二乗して、放物線y=x2の凸性に持っていく方が有名かもしれませんが、

対数をとるほうが乙だと思います。

(個人的な趣味です。相乗平均に対数をとると、相加平均になるのが気持ちいい!)

色々な証明法がありますので、余裕のある人は調べてみるのも面白いですよ。

 

見どころ② 相加相乗平均の誤答例

このチャプター1では、誤答例の紹介に時間を割いています。

ここが非常に重要です。

なぜ誤答なのか?

を理論的に理解するとともに、

誤答を見た瞬間に、「瞬間に」ですよ?

「これはヤバイやつだ!」と魂が自然に叫び出すまで、

心に刻んで欲しい例です。

 

まず、なぜ誤答なのか? を正しく理解しましょう。

例えば、(Xを実数として、)

X2≧-1

という不等式は正しいですが、X2の最小値は―1ではありません

X2は常に正なので、-1よりも絶対に大きいのは確かなのですが……

悲しいかな、

X2=-1

と、等号が成立するXの値が(実数には)存在しません。

 

(Xの式)≧定数

の形にできても、

等号を成立させるXが見つからなければ、最小値は分からない

ということです。

逆に、等号を成立させるXが見つかるなら、右辺の定数がそのまま最小値になります。

授業の中でも先生が言っていますが、

不等式『≧』から最小値を議論するのは、等号成立を調べてから

ということを、理屈でしっかり理解しましょう。

 

見どころ③ 構え、放ち、残心をとる 正しい型の習得

さて、典型的な誤答例を学んだら。

相加相乗平均の不等式の、正しい型を鑑賞しましょう。

正しい型とは、次の(1)~(3)です。

(1)【構え】使用条件の確認

(2)【放つ】不等式の使用

(3)【残心】等号成立条件の確認

 

それぞれ、確認しましょう。

 

(1)【構え】使用条件の確認

は、相加相乗の前提条件である

x > 0,y > 0 を確認する

ということです。

相加相乗を放つ前の、大事な【構え】ですね。

この【構え】なしに、相加相乗は使えません。

 

(2)【放つ】不等式の使用

一番気持ちのいい場面です。

チャプター2の内容になりますが、

文字が消えて、定数だけが残るように

【放つ】のがコツです。

分母を払った、

x+y≧2√xy

の形で【放つ】ことも多いですね。

 

(3)【残心】等号成立条件の確認

そして、ここが最重要。

不等式使って、【放つ】で満足してはいけません。

相加相乗の不等式は、必ず最後に

等号成立条件

を確認して下さい。

【残心】にあたる所作ですが、剣道と同じで、

【残心】がないと有効打として認められません。

大学受験だと、点数としてカウントされなくなるということです。

必ず等号成立条件を確認する【残心】をとって下さい。

 

(1)~(3)が、相加・相乗平均の不等式を使う際の正しい型です。

この(1)~(3)の動きを、毎回、必ず行って下さい。

そうしないと、誤答まっしぐら……という悲しい事態を招きますよ。

 

Chapter2、3

相加・相乗の正しい型はOKですか?

では、チャプター2、3のテクニック編に進みましょう。

 

(2次)/(1次)や、(1次)/(2次)

は相加・相乗のチャンス!

これらの分数関数(有理関数)は、

多項式のあまり付き割り算を利用すると

(1次式)+定数/(1次式)

の形を作れますね。

 

この形が、相加・相乗平均のねらい目です。

相手の隙を見逃さず、すかさず相加・相乗の【構え】を取りましょう。

何? 負の値が出てきてしまって、構えが取れない?

……チャプター3に、対策法が紹介されています!

 

そして【放つ】、いざ相加相乗!

何? 文字が消去できなかった?

……それは放ち方が甘かったですね。チャプター2のテクニックを鑑賞しましょう!

 

そ し て !

必ず等号成立条件の確認を、【残心】を忘れずに!

 

とまあ、テクニックの吸収は軽く流しましょう。

大事なのは、

「正しい型」

です。

 

【構え】【放つ】【残心】の3点セット。

毎回忘れずに行って下さい!

 

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