スタディサプリ 高1・高2トップレベル数学ⅠAⅡB 第27講 点と直線の距離 チャプター1|大学受験エリート

スタディサプリ 高1・高2トップレベル数学ⅠAⅡB 第27講 点と直線の距離 チャプター1

大学受験エリートのSuuです。

この記事では、スタディサプリの映像授業について、

「オススメの視聴法」

「授業のポイント」

などを、具体的に紹介していきます。

 

今回扱うのは、

高1・高2トップレベル数学ⅠAⅡB 第27講

点と直線の距離

です。

この記事では、チャプター1を扱います。

 

第27講座の授業動画は、

大学受験の数学で、やってはいけない計算集

みたいになっています 笑

 

分野としては、「図形と方程式」の単元の話題です。

「図形と方程式」ですが、

この式を文字でおいて、交点を求めて、最後にこの条件から最初においた文字を求めて……

などと、一見、方針が立てやすいことが多いです。

それは確かに「図形と方程式」の魅力なのですが、反面、

とても捌けない計算の沼にハマることが多い単元でもあります。

(オススメはベクトルです! ベクトルが使いやすいですよ!)

 

やってはいけない計算と、スマートな計算を授業動画の中で見比べて、

両方のやり方をしっかりおさえましょう。

 

え。

やってはいけない計算もおさえないといけないのかって?

そりゃあそうですよ、トップレベルを目指すなら。

どこに計算の沼があるのか?

が分からないと、そこを回避できません。

何より、万が一スマートな計算が浮かばない場合は……

計算の沼を力技で突破する

という最終手段も残しておきたいですからね。

 

Chapter1

問題(1)の解説です。

点と直線の距離の公式を証明するチャプターですね。

 

加法定理と並んで、証明しようと思うと難しい定理だと思います。

そして、だからこそ、公式を使ったときのメリットが大きい定理です。

証明のコツは、授業動画でも最後に触れている、ある“概念”を使って処理していくことなのですが……

一旦、ネタバレは避けましょうか。

 

証明を三段階でブラッシュアップしていきますが、間の二段階目にもテクニック詰まっています。

8分50秒から、11分ごろの間の計算テクニックです。

 

直線

ax+by+c=0

に垂直な直線は、

bx-ay+d=0

として表せます。

 

さらに、

直線

ax+by+c=0

に垂直で、点(p,q)を通る直線は

b(x-p)-a(y-q)=0

と表せます。

(授業動画では、こっちを使っています)

 

こんなの初めて聞いたよ!

という人もいるかもしれませんので、簡単に補足します。

 

直線ax+by+c=0について

①a,bが傾きを決めている。

②cが位置を決めている。

と意識しましょう。

y=mx+nなら、mが傾きを、nが位置(切片)を決めていますね。

それと同じイメージでOKです。

直線を定めるときに、本質的に重要なのは「傾き」の方です。

そのため、位置を決めているcの値は、

最後に調整すればいいオマケ!

くらいに思っていてもいいです。

 

①の、a,bの値についてさらに深堀します。

傾きのイメージに加えて、

ベクトル(a,b)が直線ax+by+c=0と垂直

であることも覚えおきたいですね。

授業動画でも、この知識を利用してスマートに落とすのが最終目標です。

(法線ベクトルと呼ばれます。英語でnormal vectorと言うので、文字はnで表すのが普通)

 

さて、aとbが傾きを決めていることと、(a,b)が法線ベクトルであることから、

(b,-a)という法線ベクトルをもつ直線を考えれば、それが元の直線に垂直になると考えられます。

(b,-a)はどこから出てきたの?

ですが、

ベクトル(a,b)と、ベクトル(b,-a)が垂直

になるように作りました。

ベクトルの垂直は、内積=0で分かりますね)

 

このあたりのイメージをもつと、

直線

ax+by+c=0

に垂直な直線は、

bx-ay+d=0

ということが、パッと浮かぶようになりますよ。

 

これが浮かぶようになれば、

直線ax+by+c=0に垂直で、点(p,q)を通る直線は

b(x-p)-a(y-q)=0

も、習得間近です。

垂直な、の条件の処理はいいですね。

問題は、cとか、dとかの値です。

これらの定数項部分ですが……

これは、成り行きで決めればいいんですよ。

 

直線ax+by+c=0に垂直

→傾きを決めよう。とりあえず、直線bx-ay=0を考える

→この傾きの直線が、点(p,q)を通るように調整するんだから……

→b(x-p)-a(y-q)=0とすればいいかな?

という手順で、b(x-p)-a(y-q)=0にたどり着けます。

最後のステップですが、

(1)x=p、y=qを代入して正しい式になるよう調整した

(2)原点を通る直線を、点(p,q)を通るよう、x方向+p、y方向+q平行移動した

の2つの解釈があります。

お好みの方法で理解しましょう。

(本当は、両方で理解できることをオススメします)

 

 

サラリと出てきた、

b(x-p)-a(y-q)=0

について、補足しました。

 

こういった扱いができないと、

一般形ax+by+c=0

での数式処理に支障が出ます。

「すべての直線」を一括で扱えるのは、この一般形です。

y=mx+nの形もいい式なのですが、y軸に平行な直線が含まれていないため、

地味に気を遣うことがあります。

トップレベルを目指す人は、直線の式の一般形の扱いにも習熟しましょう。

 

 

さて。

このチャプターのメインは、最後の法線ベクトルを利用した証明でしょう。

どれだけ計算が楽になるのか?

ぜひ、ベクトルの威力を鑑賞して下さい。

とはいえ、この記事で解説した、直線の式の一般形に関する扱いも面白いです。

 

メインディッシュの法線ベクトルも、サブの直線の式の扱いも、どちらもじっくり味わいましょう!

 

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