るるぶ高校数学 数Ⅰ ②集合と論理 その3 命題の否定|大学受験エリート

るるぶ高校数学 数Ⅰ ②集合と論理 その3 命題の否定

こんにちは!

大学受験エリートのSuuです。

 

高校数学の勉強ポイント、見どころなどを紹介する、

るるぶ高校数学のシリーズです。

 

今回は、

数Ⅰ 集合と論理 その3 命題の否定

です。

前回

 

前回は、「数学脳」の感覚に注目して紹介しました。

残念ながら、「問題の解き方を覚える」という感覚だと、

数学的な感覚を養うのが難しいです。

前回のテーマも重要なので、時間をかけて鍛えていきましょう。

 

今回は、

命題の否定

の勉強法について紹介します。

前回とは打って変わって、

理解よりも、まずは機械的に覚えよう

のスタンスになっています。

決して、「理解できなくてもいい」わけではありません。

ですが、まずは機械的に処理できることが大切だと思っています。

 

命題の否定は、それ自体が入試で問われるというよりも、

大学入試の実戦で役立つ 証明テクニック

を使うために必要になります。

命題の否定がパッと見えないと、証明テクニックどころではなくなります。

そういった事情もあって、

まずは機械的な処理として練習することをオススメしています。

 

ポイント① 命題の『否定』で入れ替わるペアを覚えよう

色々な証明テクニックを使うためには、

命題の『否定』

がスラスラ書ける必要があります。

 

命題の『否定』については、かなり機械的に処理することが可能です。

具体例を見ましょうか。

x=0 の否定は x≠0

x ≧ 0 の否定は x < 0

どうでしょう?

『=』は『≠』に入れ替わり、

『≧』は『<』に入れ替わっています。

このように、否定するときに「入れ替わるペア」に注目して覚えていくとよいです。

もちろん、この入れ替わるペアは「逆の意味をもつもの」です。

機械的に処理した後は、

記号の意味に注目して命題を観察しましょう。

「逆の意味」とはどういうことか、観察を通じて後からの理解でもOKです。

 

次の具体例をみましょう。

『x=0 かつ y=0』の否定は『x≠0 または y≠0』

『すべてのxについて、x2≧0』の否定は『あるxについて、x2 < 0』

『=と≠』、『≧と<』の入れ替わりは、さきほどの例と同じです。

今度はさらに、

『かつ』は『または』に入れ替わり

『すべて』は「ある』に入れ替わり

の入れ替わりが追加されています。

『かつ』と『または』

『すべて』と『ある』も定番の入れ替わりペアです。

意味を理解するのが難しいので、最初は機械的な暗記でも構いません。

少しずつ意味を考えながら、理解していきましょう。

 

このように、

「入れ替わるペア」のパターンを覚えておくのが、

命題の『否定』をスラスラ書けるようになるコツです。

 

命題・論理の扱いが得意な人ほど、『否定』の操作は機械的にやっていると思います。

機械的に『否定』を書いた後で、意味を考えて確認するスタイルがオススメです。

 

ポイント③ 『P ⇒ Q』 の否定は 『PだけどQでないものがある』

入れ替わりのパターンを覚えたら、

『P ⇒ Q』

の否定を考えましょう。

『P ⇒ Q』の意味は、

『Pが成り立つとき、必ずQが成り立つ』

でした。

これを否定すると、

『Pが成り立っているのに、Qが成り立たないことがある』

です。

『Pが成り立つとき、Qは絶対成り立たない』

という意味にしないよう、注意が必要です。

ここは、

『P⇒Q』の理解ができていないと、習得が難しいです。

『P⇒Q』の真偽判定を繰り返し練習して、

その意味が習得できてから手を出すのが理想です。

そうでない間は……

仕方ないので、「そういうものだ」で納得しておくのがオススメです。

一応、ヒントになりそうなことを書いておきます。

「必ず~~~が成り立つ」

を否定したときに入れ替わるペアは、

「~~~が成り立たないことがある」

という風にとらえるといいですね。

(「必ず~~~が成り立たない」ではないことに注意!)

 

 

勉強ポイント①、②を高いレベルで習得できれば、

『すべての正の数xについて、ある自然数N0があって、

N≧N0 ⇒ 1/N < x』

の否定をサラサラと書ける……かもしれません。

『ある正の数xがあって、すべての自然数N0について

N≧N0 だが 1/N ≧x となる自然数Nがある』

となります。

複雑そうですが、入れ替わりのペアを正確に入れ替えて、

『P⇒Q』の否定を丁寧に処理しているだけだったりします。

(ここまでいくと大学受験では不要な技術なので、気にしなくてOKです 笑)

 

ポイント③ 集合と対応させて理解する

上級者は、しっかり集合と対応させながら理解していきましょう。

命題の『否定』は、

集合では『補集合』

と対応します。

 

x=0 の否定は x≠0

x ≧ 0 の否定は x < 0

という例を出しましたか、集合の見方もしておきましょう。

『実数全体』を全体集合とすると、

{0} の補集合は {0以外の実数}

{x|x≧0} の補集合は {x|x <0}

となります。

命題の否定の操作と、集合の補集合をとる操作がキレイに対応していますね。

 

『かつ』や『または』が絡む場合も同様です。

『かつ』と『または』が命題の『否定』で入れ替わることは、

『∩』と『∪』が『補集合』で入れ替わることと対応しています。

このように、命題の処理は集合の処理と密接に関わっています。

 

『P⇒Q』の否定を、集合の言葉で表すとどうなるか?

などの難しい課題にも、ハイレベルを目指す人は挑んでみましょう。

 

 

次回が「集合と論理」の最終回です。

大学入試の数学で、実戦級となる証明テクニックを扱う回になります。

ただし、その証明テクニックを使うためには

命題の否定

がサクサク書けたり、頭に浮かんだりすることが必須です。

前準備が長くて大変ですが、しっかり練習しておきましょう。

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