スタディサプリ 高1・高2 トップレベル数学ⅠAⅡB 第30講 領域と最大最小問題|大学受験エリート

スタディサプリ 高1・高2 トップレベル数学ⅠAⅡB 第30講 領域と最大最小問題

大学受験エリートのSuuです。

 

この記事では、スタディサプリの映像授業について、

「オススメの視聴法」

「授業のポイント」

などを紹介していきます。

 

今回は、

高1・高2 トップレベル数学ⅠAⅡB 第30講

領域と最大最小問題

です。

 

今回のテーマですが、

多変数関数の最大・最小問題へのアプローチ

と考えてもOKです。

 

1変数関数なら、微分して増減表という手段があります。

しかし、高校数学では多変数関数の微積は出てきません。

そのため、多変数関数の最大最小となると困ってしまいます。

 

そこで、どうするのかというと

領域と図形が交点をもつかどうか?

という図形的な問題として処理します。

 

他にもアプローチはあるのですが、

この講座で紹介されている処理が1つの定番です。

しっかりマスターしましょう。

 

Chapter1

問題(1)を扱うチャプターです。

とくに捻りもない問題ですが、細かい技法をしっかり観察しましょう。

 

【直線ax+by+c=0のグラフのかき方】

ベクトル(a,b)が法線ベクトル

であることを知っていると、直でグラフを考えられます。

法線ベクトルの知識自体は色々と役に立つので、トップレベルを目指す人はぜひ知っておきましょう。

ですが……この問題のように、

精密なグラフをきちんとかきたい

ときは、安全策を取りましょうよ。

一番グラフをかきなれた、

y=mx+n

の形に直しちゃえばOKです。

 

【連立方式の解き方は自由!】

中学校2年生では、1次連立方式の解き方を

代入法

1文字消去

の2つで習います。

これらの方法は基本なのですが、

雑に、

2つの式を組み合わせて、上手いことやる

というイメージも持ちましょう。

 

3x+4y=35

4x+3y=35

という2式を見たら、

足したら上手いこといきそう

と感じられるようになりましょう。

 

【図形的な考察も忘れない】

円と直線の交点を求めるときは、もちろん連立方程式を解くのが基本です。

ですが、問題を解く中で……

傾き-3/4 や 傾き-4/3 の直線

半径が5の円

と見たら、ビビっときましょう。

図の中に、3:4:5の有名な直角三角形が出てきそうですよね。

すると、真面目に連立法て式を解かずとも、

図形の性質から楽して交点が分かりそうです。

 

この辺りは、「意識するかどうか」が大切です。

トップレベルを目指す人は、つねに「もっと楽ができないか」を貪欲に考えましょう。

 

Chapter2

問題(2)の解説です。

開始から6分40秒ごろまでの解説が、一番大切です。

 

x,yが領域Dを動くときの、4x+5yの最大・最小

を考えるときに、

領域Dと、直線4x+5y=kが共有点をもつkを考える

として処理します。

(面倒なので、この記事では元の問題のD∩Eの領域のことを、

単にDと呼ぶことにします。)

 

この言い換えが大切です。

容易ではないですが、トップレベルを目指す人はきちんと理屈も知っておきたいですね。

 

実は、通過領域の問題を実数解条件に言いかえるときと、

カラクリはほとんど同じです。

 

「4x+5yの動く範囲」というものを考えます。

この集合をRとしましょう。

(Rが「通過領域」のようなイメージです。)

 

kがR(「4x+5yの動く範囲」)に入っている

⇔4p+5q=kをみたすDの点(p,q)が存在する

⇔4x+5y=kとDの共有点(p,q)が存在する

 

という言い換えで、直線と領域Dの共有点問題に帰着します。

決して簡単な言い換えではありません。

じっくり、上記の言い換えや授業動画を見て理解しましょう。

(通過領域の問題と同様に、ここが問題を解くキーです。

そのため、この部分こそしっかり答案に書くべき!

と思っています。)

 

 

さて、この共有点をもつかどうかを考えるときのコツがあります。

授業動画でも触れていますが、

直線の傾き

にしっかり注目しましょう。

各直線の傾きの大小で、

最大・最小の場所

が変わってきます。

そのため、この問題を処理するときは

図の傾きを、そこそこ正確にかいておく

のもポイントになります。

 

後は……円と直線が接するときの処理も大切ですね。

連立→判別式とやると大変なので、

点と直線の距離を使うのが手筋です。

他にもいろいろな処理法を紹介し、比較してくれています。

実戦で重要な視点なので、ぜひしっかり鑑賞しましょう。

 

 

さて、授業動画では紹介されていない、

問題(2)の別解も紹介しておきます。

(方針だけ紹介します。)

授業動画の方針とは真逆に、

領域Dのすべての点を代入する

作戦になります。

問題(1)から、考える領域が

おうぎ形

と分かっています。非常にキレイな図形ですね。

そこに注目して、

(x,y)=(5,5) + r(cosθ, sinθ)

と表示します。

すると、

4x+5y は、ほぼsin、cosの1次式だから……

なんとか、最大最小を考えるぐらいはできそうですね。

余裕のある人は、この方針にもトライしてみましょう。

 

Chapter3

問題(3)の解説です。

傾き自体が変化するので、かなり厄介になります。

 

授業動画のように、傾きの値によって

「最大・最小の場所」

自体が変わるので、コツコツ場合分けをします。

 

この場合分けをしっかりすることが、この問題のポイントでしょう。

この場合分けは、少し難しいです。

コツは、

なるべく極端な傾きを考える

変わり目に注目する

の2点でしょうか。

 

授業動画では、「傾きー32」などを考えていましたね。

このように、

極端に大きいものや、極端に小さいもの

を考えると、場合分けの漏れを防げます。

 

変わり目は……境界Dにの縁に沿うような傾きですね。

この傾きの値を境に、最大最小の場所が変わりそうです。

こういったところに注目しながら、考えていきましょう。

 

正確に場合分けさえできれば、ほぼ勝ちです。

そのため、場合分けの考えたを解説した最初のパートをじっくり視聴しましょう。

 

 

29講の「通過領域」の問題と、今回の問題は実際の処理はかなり異なります。

ですが、理論的な背景はほとんど同じです。

トップレベルを目指す人は、理論的な背景も含めて理解できるよう、

頑張りましょう!

 

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