こんにちは！
大学受験エリートのSuuです。
高校数学の勉強のポイント、みどころなどを紹介する、
るるぶ高校数学のシリーズです。
今回は、
数Ⅰ ２次関数 その３ グラフの移動
です。
→前回
平方完成→２次関数のグラフをかく
という作業は慣れてきましたか？
２次関数の問題では、この作業が基本中の基本になります。
スラスラできるように、しっかり練習しましょう。
今回は、グラフの平行移動・対称移動をテーマにします。
２次関数のグラフの平行移動
２次関数のグラフの対称移動
という形で習うかもしれませんが、
一般の関数のグラフの移動
についての話として理解しましょう。
今後、色々なところで「平行移動」は登場します。
今ここで、その内容・感覚を掴みましょう。
ポイント① 「平行移動」は、「xにx-p、yにy-q」を代入する
グラフの平行移動は、次の内容を習得すればOKです。
関数y=f(x)のグラフを、
x方向にp, y方向にq 平行移動したグラフの式は、
y-q=f(x-p)
これさえ理解できれば、平行移動はマスターです。
平行移動について、これ以上に学ぶ内容はありません。
「覚える」のも大切ですが、そもそも「意味不明」という声をよく聞きます。
まずは、式の見方から整理しましょう。
イメージは、
x に x-p を代入
y に y-q を代入
する操作です。
具体的には、
y=x+3
を、x方向に1、y方向に2平行移動したグラフの式は、
(y-2)=(x-1)+3
となります。
xにx-1
yにy-2
を代入しているのが掴めるでしょうか。
ポイント② 「平行移動」は、簡単な具体例で理解しよう
関数y=f(x)のグラフを、
x方向にp, y方向にq 平行移動したグラフの式は、
y-q=f(x-p)
の証明は簡単です。
ただ、理解するにはかなり高度な思考力が必要です。
そこで、「平行移動」については論理的な理解は諦めていいと思います。
その代わり、もっと大事な作業を通じて「納得」して欲しいです。
それは……
簡単な具体例で確かめる
という作業です。
もう、非常に簡単なものでOKです。
そうですね、
y=xのグラフ
で考えましょう。
y=xのグラフを、
x方向に１平行移動したグラフ
をかいてみましょう。その式はどうなっていますか？
y=x-1
になりますよね。
ほら、
「xにx-1を代入した式」
になりましたね。
（x+1を代入した式ではありませんね。）
y方向についても確かめましょう。
y=xのグラフを、
y方向に1平行移動したグラフ考えましょう。
その式は、
y=x+1
になりますね。移項すると、
y-1=x
ですから、
「yにy-1を代入した式」
が出てきます。
こういう具体例を通じた実験と確認が重要です。
難しい例で考える必要はありません。
今まで習ったものを使って、具体例で実験をしましょう。
「一度こういう話を聞いて終わり」
ではなく、自分の手で、自分の頭で、
繰り返し考えることが重要です。
くり返していくと、そのうち自然に
関数y=f(x)のグラフを、
x方向にp, y方向にq 平行移動したグラフの式は、
y-q=f(x-p)
という内容が、頭と体に染みつきますよ。
ポイント③ ２次関数のグラフのかきかたを、「平行移動」で理解する
さて、グラフの平行移動が掴めたら、いよいよ２次関数のグラフについて考えます。
これまでは「機械的に」グラフをかいていましたが、その理論的背景を理解しましょう。
y=x2のグラフを、
x方向に１,y方向に２平行移動したグラフの式は、
y-２=(x-１)2
ということが、平行移動の話から分かります。
y-２=(x-１)2
を移項して変形すると、
y=(x-１)2+２
となります。この右辺は「平方完成」された形ですね。
平行移動の話を振り返ると、
y=(x-１)2+２
のグラフは
y=x2のグラフを、
x方向に１,y方向に２平行移動
したものと思ってかけばいいわけです。
……と、それがまさに、今まで機械的にやっていたグラフかきの作業ですね。
なるほどなるほど。
といった具合に、後付けで構わないので、
「今までやっていたグラフかき」の理論的背景を、
グラフの平行移動を通じて理解しておきましょう。
ポイント④ 「対称移動」は、具体的な点の移動で考える
平行移動とセットで、グラフの対称移動も学習するハズです。
ここでも、
簡単な具体例で考える
ことが大切です。
例えば、点（1,1）の対称移動を考えましょう。
◎(1,1)をx軸に関して対称移動した点 →（1,-1）
◎(1,1)をy軸に関して対称移動した点 →(-1,1)
◎(1,1)を原点に関して対称移動した点 →(-1,-1)
具体例なら、考えやすいですね。
この結果から……
◎x軸に関して対称移動
→x座標はそのまま、y座標はマイナス倍
◎y軸に関して対称移動
→x座標はマイナス倍、y座標はそのまま
◎原点に関して対称移動
→x座標はマイナス倍、y座標もマイナス倍
ということを掴みます。
そのうえで、次の結果を眺めましょう。
関数y=f(x)のグラフを対称移動してグラフの式は、
x軸に関して対称移動 → -y=f(x)
y軸に関して対称移動 → y=f(-x)
原点に関して対称移動 → -y=f(-x)
となる。
式の見方は、yに-yを代入したり、xに-xを代入したりする感覚です。
点（１，１）についての具体例と、綺麗に対応しているのを観察しましょう。
私は、対称移動の結果は覚えていません。
上記のような具体例→抽象化の過程で、毎回思い出しています。
「どっちの符号を変えるんだっけ？」
と混乱しやすい式なので、丸暗記よりも、
上記のような理由付けとセットで覚えることが大切です。
（できる人向けの注意
実は、上記の対称移動に関する理由付けは『インチキ』です。
余裕のある人は、
どこが『インチキ』なのか？
を考えてみましょう。
結果自体は正しいので、そこは安心ですが。）
上級者向けの補足として、次の対称移動もちょくちょく使うので、
今のうちに知っておくとよいです。
関数y=f(x)のグラフを、
直線y=xに関して対称移動
したグラフの式は
x=f(y)
『y=xに関する対称移動は、yとxを入れ替える』
とイメージするとよいです。
グラフの移動は、かなり抽象度の高い内容です。
このような内容を扱うために、
関数y=f(x)
といった抽象的な記号が用意されています。
抽象的な内容を勉強するときに大切なのは、
具体例で実験する・確かめる
ことです。
具体的な例がどれだけ浮かぶか？
が、抽象的な内容をどれだけ理解しているかに直結します。
抽象性に惑わされず、しっかり具体例での学習を積み重ねましょう。