大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを紹介していきます。
今回は、
高１・高２ トップレベル数学ⅠAⅡB 第７講
周期関数について
です。
周期がらみの問題は、普段あまりしない議論を要求されるため、
少しハードルが高いかもしれません。
また、周期関数はちょっと使いどころも難しい気がします。
他のところでの応用があまり浮かばないため、
普段ほとんど周期と触れ合うことがありません。
そのあたりも、周期関数の問題が難しく感じる原因だと思います。
Chapter1
問題（１）の解説です。
「周期」「基本周期」の基本用語も解説してくれています。
基本的な定義があいまいだと、後の議論に困ってしまうので、
しっかり確認しておきましょう。
グラフをかく問題は、基本的な問題ながらうっかりしやすいです。
トップレベルを目指す人でも、sin,cosのグラフをかくのが苦手な人もいると思います。
堺先生のかきかたをしっかり視聴して、そのコツを掴みましょう。
補助線として、格子をかくのは上手いですね。
また、高さや周期はあとから調整すればいいので、
先に「サインカーブ」をかいてしまうのも上手いです。
ｘｙ軸があって、座標があって、そこにあわせてグラフをかく
よりも、
先にグラフをかいて、そのグラフにあうように座標を後からかきこむ
というのが、以外と大切な処理方法です。
あとは……
sinの波の高さが半分→3等分したところ
というのも、パッと見えるとカッコイイ。
カラクリは、
sinθ=1/2 になるのは θ=π/6
ですね。
さて、
2π/3 が 2sin(3x-π)+1 の周期
であることはすぐに分かりますが、
2π/3 が 2sin(3x-π)+1 の基本周期
ことの証明は、コツがいります。
授業動画の後半の内容ですが、大事な内容が入っているので、
鑑賞しておきましょう。
2π/3がf(x)の基本周期であるとは、
『すべてのxについてf(x+p)=f(x)』をみたすpの中で、2π/3が正で、最小であること
……はい、ややこしいですね。
この証明するために必要なのは、
2π/3よりも小さいどんな数pも、
『すべてのxについてf(x+p)=f(x)』をみたすことはない
です。
「2/π3より小さいどんな数pも……」というのが厄介で、
調べないといけないものが多すぎます。
この手の命題を証明するときは手筋が決まっていて、
背理法
を使うのが定番になっています。
つまり、
もしも、2π/3よりも小さい数で、
『すべてのxについてf(x+p)=f(x)』
をみたすものが存在したと仮定して、
矛盾を導く
というのが定番です。
ぜひ、この証明の感覚を身につけましょう。
また、授業動画は少し高級な公式を使っています。
sin(3x+3p-π)-sin(3x-π)=0
に和積の公式を使っていますが、もっとシンプルな証明ができます。
『sin(3x+3p-π)-sin(3x-π)=0が、
すべてのxについて成立するか？』
を考えているので、好きなxの値を代入してあげましょうか。
そうですね……
x=π/3
あたりでどうでしょう。
sin3p=0
と分かるので、ここから少し攻めると矛盾が出ます。
「上手いｘの値を代入して、矛盾を出す」
というのはチャプター３の内容ですが、
問題（１）でも使えることは意識しましょう。
Chapter2
問題（２）の解説です。
sin,cosなどをベースにして、
好きな周期の周期関数をつくる方法は浮かんで欲しいところですね。
ガウス関数を利用した「小数部分」は、
浮かんだらカッコいい！
感じです。
ちなみに、堺先生が最後に紹介した
『xが有理数のとき1、xが無理数のとき0』
という関数は、dirichlet（ディリクレ）の関数と言います。
非常に変わった関数なので、「変な例」を出すときによく呼ばれます。
（数学科御用達（？）です）
今回も、「任意の有理数が周期」になっていることから、
「基本周期が存在しない周期関数」
の例になっていますね。なるほど、勉強になります。
後半の、周期関数のグラフかきの感覚も掴んでおきましょう。
「同じ形がつづく」ことに注目です。
最初のうちは楽しい気分になれると思います。
（飽きて来たら、堺先生のマネをして
「ガージョンガージョン」
と言いながらかきましょうか。）
Chapter3
問題（３）の解説です。
この問題は難しいですね。
まずは、
「周期関数か、周期関数でないか」
のあたりをつける必要があります。
悩んだら、簡単でいいのでグラフをかいてみるといいです。
やはり、難しい問題ほど実験が大切です。
（大変なので、微分して増減表とかは不要です）
そうすると、周期関数じゃなさそうかな？
と想像しやすくなります。
和積の公式を使って、疑似的に因数分解したあとの注意もうっかりしやすいです。
９分３０秒から、１２分ごろの堺先生の注意ですね。
f(x),g(x)が恒等的に0でなくても、
f(x)g(x)が恒等的に0
という状況はありえます。
極端な例ですが、
『xが有理数のとき1、xが無理数のとき0』をf(x)
『xが有理数のとき0、xが無理数のとき1』をg(x)
とすると、fもgも「0でない点」が無数に存在しますが、
任意のｘに対してf(x)g(x)=0となります。
授業動画の作戦は、初見では非常に難しく感じると思います。
上記のような注意はありますが、
「結局、0になるところはトビトビなんだから、
0になるところのすぐ近くに、
0にならない点があるはず」
という感覚から、0にならない点を探り当てます。
堺先生も丁寧に説明してくれていますが、
なかなか難しいので、繰り返し視聴しましょう。