スタディサプリ 高1・高2 トップレベル数学ⅠAⅡB 第12講 3次方程式の実数解について|大学受験エリート

スタディサプリ 高1・高2 トップレベル数学ⅠAⅡB 第12講 3次方程式の実数解について

大学受験エリートのSuuです。

 

この記事では、スタディサプリの映像授業について、

「オススメの視聴法」

「授業のポイント」

などを紹介していきます。

 

今回は、

高1・高2 トップレベル数学ⅠAⅡB 第12講

3次方程式の実数解について

です。

 

3次方程式の実数解の取り扱いについての講座です。

2次方程式の実数解と言えば、

判別式を使った対応や、解の配置問題としての対応があり、

ある程度知識としてもっていると思います。

一方で、3次方程式の実数解を扱う機会は少なく、

対応に慣れていない可能性があります。

この講座で、しっかり対応の感覚を掴みましょう。

 

そういえば、3次方程式でも判別式はあるのですよね。

余談がてら、ちょっとその世界を紹介しておきます。

ax3+bx2+cx+d=0 の判別式は、

D=-4ac3-27a2d2+b2c2+18abcd-4b3d

です。

……非常に複雑ですね。係数に文字が入っている場合は大変そうです。

ただ、計算しやすい場合もあります。2次の係数が0の場合、

つまり x3+cx+d=0 の場合なら、

D=-4c3-27d2

となります。このぐらいなら実戦的でも使えそうです。

重解・実数解の判定ですが、

D > 0 ⇔ 相異なる実数解を3つもつ

D=0 ⇔ 重解をもつ

D < 0 ⇔ 実数解1つと、複素数解2つをもつ

と、判別式の符号から可能です。

2次の係数が0の場合はそこそこ使える可能性はありますが、

あくまで参考程度と思って下さい。

 

Chapter1

問題(1)の解説です。

第11講の内容を使って、素早く精密にグラフを情報をとらえるのが上手いですね。

グラフの情報さえ捉えられれば、目算でα、β、γの値が予想できます。

整数部分を正面から処理するのは難しいのですが、

「整数部分の答え」さえ分かっていれば、証明するのは難しくありません。

授業動画のように、具体的にx=(整数)のときのyの値を計算し、

そのときの符号をチェックすればOKです。

このように、

答えのアタリがついている

というのは強力な武器になります。

 

また、負の数に対する整数部分・小数部分の定義を確認しておきましょう。

具体的な定義は問題文に載っている通りなのですが、

「-1.2」の整数部分は「-2」、小数部分は「0.8」

となります。

「-1.2」を越えない最大の整数は「-2」、

(小数部分)=-1.2-(-2)=0.8

と考えています。

ちょっと戸惑うことがあるので、要注意です。

とくに、定め方から「小数部分はつねに0以上」ということも頭に入れておきましょう。

 

小数部分の大小比較は、

「整数との離れ具合の比較」

をとらえることになります。

授業動画のイメージですが、「解の近似」で攻めていると思いましょう。

具体的な解の値は分からずとも、

解が入っている範囲はどこなのか?

を、解の付近の値を代入しながら調べていきます。

 

最初は浮かびにくい発想かもしれません。

方程式の解について扱うとき、

具体的な解の値が分からなくても、解の大体の値は調べられる

というイメージをもちましょう。

この感覚があると、授業動画のような方針が浮かぶようになっていきます。

 

後半のαとγの比較は、実際にできなくても大丈夫です。

ただ、数学を学ぶ姿勢として非常に重要な感覚なので、

堺先生の数学に対する向き合い方を鑑賞しましょう。

 

Chapter2

問題(2)を扱うチャプターです。

3次方程式の実数解の個数の調べ方に注目です。

 

2次方程式なら、判別式からすぐに判定できることですが、

3次方程式はそうもいきません。

(判別式自体はありますが……)

そこで、どうするかです。

 

まず、基本的な知識として

3次方程式は、少なくとも1つは実数解をもつ

ということを知っておきましょう。

これは奇数次数の多項式方程式の特徴で、

2次方程式との大きな違いです。

 

3次方程式の実数解の個数を調べるときの焦点は、極値を2つもつ場合の処理です。

極値をもたない場合は、自動的に実数解が1つと分かってしまいますからね。

授業動画で非常に重要なテクニックが出てきています。

x=α、βで極値をもつとき、

g(α)g(β)の値で実数解の個数を分類する

というテクニックが巧妙です。

知らないとなかなか思いつかないかもしれません。

 

このテクニックは、背景も含めて理解する必要があります。

堺先生が丁寧に解説してくれているので、じっくり視聴しましょう。

 

g(α)g(β)の値で分類する方針がたてば、あとはゴリゴリ計算するだけです。

ですが、計算のなかにも重要な技術がまだ隠れています。

計算途中で出てくる、

余り付き割り算を使った次数下げ

にも注目です。

この問題だから特別に使えた技術ではなく、

極値α、βはg'(x)の解なので、

x=α、βを代入するときはg'(x)で余り付き割り算

するといつも楽になります。

難しい問題ほど、こういった細かい小技の積み重ねが重要になっていきます。

トップレベルを目指す人は、このような計算も当然のように使いこなせるようになりましょう。

 

……さて、せっかくなので3次の判別式を使った別解も紹介しておきましょう。

記事の最初は「使えない」というスタンスでしたが、案外そうでもありません。

 

x3+3x2+mx+1=0 ですが、まずは左辺を変形します。

(x+1)3+(m-3)x=0

とできます。

立方完成と言われる変形ですが、平方完成とほぼ同じです。

平方完成の意味がしっかり分かっている人は、なんとなく変形が掴めると思います。

(平方完成は「2乗」で無理やりくくりますが、立方完成は「3乗」で無理やりくくります)

さて、X=x+1とおくと、x=X-1に注意して

X3+(m-3)X-(m-3)=0

となります。

xの実数解の個数とXの実数解の個数は一致します。

グラフをx軸方向に平行移動しているだけですからね。

そのため、この方程式に判別式を使えばOKと分かります。

 

D=-4c3-27d2

の判別式を使える形なので、

D=-4(m-3)3-27(m-3)2

=(m-3)2(-4m-15)

と計算できます。あとはこの符号を考えて、授業動画の答えと一致します。

 

あくまで観賞用ですが、

全然違う方針で攻めて、答えが一致するのは面白いですね。

 

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