こんにちは！
大学受験エリートのSuuです。
高校数学のみどころ、勉強ポイント、落とし穴などの観光名所を紹介する、
るるぶ高校数学 シリーズです。
今回は、
数A 場合の数 その４ 組合わせ
です。
さて、順列のときと同じ注意から入りましょう。
「もれなく、重複なく」
場合分けに注意
区別する？ しない？ に注意
対応関係に注目
の４本柱、しっかり覚えていますか。
順列の勉強の段階から、意識していましたか。
え、特に気にしていなかった！？
それはイケナイ。
今からでも遅くないので、意識していきましょう。
そうしないと、
「CとPの使い分けが分からない」
と嘆くことになりますよ！
ポイント① nPrに慣れているとnCrもスムーズ
まずならうのが、
nCr=nPr/r!=n!/r!(n-r)!
という式でしょうか。
見ての通り、
Cの計算にPが入っている
のですから、順列Pの内容・計算にある程度慣れていることが前提です。
順列Pの計算に不安がある人は……１回、順列を復習した方がいいかもしれません。
Pの計算に慣れていれば、Cの計算自体は気楽です。
Pの計算に、r!を分母として加えるだけでOKです。
また、順列の勉強が役立つのは、計算面だけではありません。
「考えやすいものから考えて、考えにくいものは後回し」
という順列で磨いたコツは、組合せの問題でも重要です。
順列のときに気にしていなかった人は、今からでも遅くないです。
https://juku-elite.com/contents/id/217のポイント④を読んで、
もう一度、順列の問題たちを見直してみましょう。
ポイント② 区別できるものを、順番を区別しないで数えるのが組合せだ！
順列Pと同じように、組合せCにも使用条件があります。
「何を区別する？ 区別しない？」
の観点で整理しておきましょう。
並べるものが、すべて区別できる
順番が違うものは、区別しないで数える
の２条件がそろったときに使うのがCです。
具体的には、
｛A、B、C｝のように「並べるもの」はすべて区別ができるもので、
｛A、B、C｝と｛C、B、A｝は区別しないで、１通りと数える
のが組合せのCです。
順列Pとの違いに注目しましょう。
並べるものが、すべて区別できる
という部分は、CとPで共通です。
異なるのは、
順番が違うものを区別するのがP
順番が違うものを区別しないのがC
です。
組合せを習っているんだから、とにかくCを使おう！
と考えるのではなく、
並べるものが区別できるから、順列Pと組合せCの両方が使える可能性があって……
順番が違うものを区別しない設定だから、Cを使おう！
と、１問１問で考えながら解くのがオススメです。
これをコツコツ繰り返すと、そのうち一瞬でCとPの判定ができるようになります。
大事なポイントを常に意識して演習することが大切です。
ちなみに、ここまで真面目に読んでくれた方の中には、
並べるものが区別できない場合はどうするの？
と疑問に思う人もいるかもしれません。
その場合、CもPも使えません。
手作業で数えましょう。
CとかPを使う問題ばかり扱うので、CとPが万能選手のように感じられますが、
決してそんなことはありません。
ただし……大抵は、工夫するとC（やP）の計算が使える形にできる問題が出てきます。
そのあたりは、
対応関係
に注目して理解するといいです。
ポイント③ 対応関係のパターンを整理しよう
順列に比べると、組合せCの方が色々なタイプの数え上げに出会います。
一例をあげると、
対角線の本数、同じものを含む順列（？）、最短経路、同じものを含む組合せ……
などでしょうか。
これらは、
対応関係の設定の仕方
に注目して、パターンとして整理します。
分かりにくいので、具体的に紹介しておきますね。
㋐対角線の本数
対角線１つ↔頂点２つ
と対応させて考える。
「頂点を２つ選ぶ」問題として捉えられるので、
組合せCが使える。
㋑同じものを含む順列
『並べる場所』を先に用意して、並べる場所を決める
という見方で、「順列」との対応を考える。
用意された『並べる場所』の中から、並べる場所を選ぶ
と考えられるので、組合せCが使える。
㋒最短経路
最短経路と、↑、→の並びを対応させる。
すると、同じものを含む順列と同じ設定になるので、
組合せCが使える。
㋓同じものを含む組合せ
『並べるもの〇と、仕切り｜の列』と、同じものを含む組合せを対応させて考える。
すると、「仕切りを入れる場所を選ぶ問題」と考えられるので、
組合せCが使える。
パターンとして整理して、覚えて欲しいのは
「どう対応させているのか？」
の部分です。
そして、
「この問題は、コレとコレを対応させて数えるんだから……Cが使えるな！」
と見抜きながら解くのをオススメします。
繰り返しますが、大切なのは「対応関係」です。
一方で、大切じゃないものもいくつか目に入るかもしれません。
大切じゃないのは、余計な公式たち。
余計な公式は覚えないほうがいいです。
余計な公式と言うのは、例えば……
n!/p!q!r!……
nHr=n+r-1Cr
などです。
これらは、
「対応関係」のパターンさえしっかり整理できていれば、
すぐに思い出せる式です。
さらに、対応関係さえ分かっていれば、
多少条件をひねった問題でも対処でき、応用がききます。
「いろいろな公式を覚えれば、数え上げの問題ができるようになるんだ！」
というのは完全な勘違いですので、注意して下さい。
覚えるべきは公式ではなく「対応関係」という点を、
しつこいですが注意させてもらいます。
るるぶ高校数学の、数A 場合の数 の内容はこれで終わりです。
ある程度数学が得意な人は、
公式を覚えて、練習だ！
というスタイルを持っているハズです。
ですが、そのスタイルが通用しないのが「数え上げ」でした。
その雰囲気や理由が、少しでも伝われば幸いです。
（むしろ、覚えるべき公式なんて１つもないぐらいです。）
意識するべき本当のポイントを見誤らないよう、
演習問題に取り組んで下さい！