るるぶ高校数学 数B ①数列 その4 等比数列|大学受験エリート

るるぶ高校数学 数B ①数列 その4 等比数列

こんにちは!

大学受験エリートのSuuです。

 

高校数学の勉強のポイント、みどころなどを紹介する、

るるぶ高校数学のコーナーです。

 

今回は、

数B 数列 その4 等比数列

です。

前回

 

等比数列も、考えやすい数列です。

等差数列から引き続き、

扱いやすい数列で、数列の記号になれよう

がポイントなのは変わりません。

 

ただし、等差数列に比べると、

等比数列の方が扱いに苦労することが多いです。

等差数列のよりも、ちょっと気合を入れて勉強しましょう。

 

ポイント① 「同じ数」をかけていくのが等比数列

「同じ数」をどんどん足してつくったのが等差数列でした。

足し算をかけ算に変えて、

「同じ数」をどんどんかけて作った数列が、等比数列です。

 

2, 4, 8, 16, 32, 64,……

-1, 1, -1, 1, -1, 1,……

2, -1, 1/2, -1/4, 1/8,……

などが等比数列です。

それぞれ、「2」、「-1」、「-1/2」をかけて作っています。

どんどんかけていく「同じ数」のことを公比といいます。

 

等差数列のときと、流れは似ていますね。

ただし、ちょっと嫌な予感がしませんか。

-1, 1, -1, 1, -1, 1,……

2, -1, 1/2, -1/4, 1/8,……

のように、符号がコロコロ入れ替わったりします。

等差よりも、微妙にやっかいなことがあるかも?

と思っておきましょうか。

 

ポイント② 一般項は、「公比を何回かけたか」を考えよう

等比数列の一般項は、等差数列のときと同じ要領です。

等差の方で丁寧に紹介したので、等比は一気に一般項まで飛びましょう。

 

n番目は、最初の数に公比を何回かけたものか?

→n番目は、最初の数に、公比rを(n-1)回かけたもの

→an=a1rn-1

となります。

 

等差数列の一般項と同じく、わざわざ覚えるほどの式ではないです。

 

ポイント③ 等比数列は「nの指数関数」

等差数列は「nの1次式」でしたが、等比数列はどうなのでしょうか。

 

等比数列は「nの指数関数」

つまり、

an=prn

 

うーん、ちょっと嫌な感じです。

「1次式」「1次関数」は、中学生の頃から扱っています。

その分、慣れていますよね。

一方で、指数関数は数Ⅱの内容です。

習いたてだったり、あるいは未習だったりします。

この辺の、式の形の馴染みの薄さが、等差数列の厄介さですね。

 

等比数列は、式の形や扱いに馴染みが薄い可能性が高いです。

等比数列を扱うときの式変形について、細かいところを紹介していきましょう。

 

ポイント④ 「〇のn乗」、「〇の(n-1)乗」、「〇の(n+1)乗」は大体同じ

いくつか、具体的な等比数列を出してみます。

an=2n

bn=2n-1

cn=2n+1

 

ちょっと感覚的な話題をします。

上の3つの数列はどのぐらい似ていると感じますか?

ふわ~~っとしててゴメンナサイ。

 

等比数列を扱うときの感覚として、

上の3つの数列は「大体同じ」「ほぼ同じ」

と思えるようになりましょう。

さっきの数列ですが、具体的な数を書き並べていきますね。

 

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,……

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,……

4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,……

 

どうでしょうか。

「大体同じ」「ほぼ同じ」

という気分になりませんか。

というか、

「ちょっと、番号をずらしているだけ」

ですよね。

 

「数列として大体同じ」という感覚的なものを、

数式でも表現してみましょう。

2n=2・2n-1

2n=(1/2)・2n+1

とできるので、

an=2bn、an=(1/2)cn

という関係式が出てきますね。

 

さて。今、非常に重要な計算を紹介しました。

2n=2・2n-1

2n=(1/2)・2n+1

です。

指数のnを、n+1にしたり、n-1にする計算です。

この手の計算ですが、今後の実戦で使いまくります。

なので、スラスラとできるようになっておく必要があります。

 

数式を見るとき、

「〇のn乗」「〇の(n+1)乗」「〇の(n-1)乗」なんて大体同じ!

「〇のn乗」は、いつでも「〇の(n+1)乗」「〇の(n-1)乗」に変形できる!

という感覚が重要になります。

 

ポイント⑤ 等比数列と見抜けるようになろう!

少しだけ、ネタバレをします。

数列の中盤~終盤で習う計算は、

「等差か等比数列の話に落とし込む」

のがほとんどです。

そのため、

「あ、ここに等差数列がある!」

「これは等差数列だ!」

というのを、素早く見抜く感覚が重要になります。

 

ポイント④で使った、

2n、 2n-1、 2n+1

すべて等比数列です。

n乗も、n-1乗も、n+1乗も同じようなものです。

「〇のn乗」「〇の(n+1)乗」「〇の(n-1)乗」

は、見た瞬間に等比数列と見抜けるよう、

感覚を磨く必要があります。

 

もうちょっと例を出してみましょうか。

(-2)3n+2

2n・3n+3

(p+q)n-1・(p-q)n+1

 

これらも、すべて等比数列です。

(公比は何か、考えてみましょう!)

 

どうでしょう。

なかなか、等比数列を見抜くのは、厄介ではないでしょうか。

勉強をしながら、

これも等比数列なんだ!

というのに気づけるようになっていきましょう。

 

ポイント⑥ 等比数列の和の公式は、導き方と結果をセットで覚えよう

等差数列の和=最初×(1-公比(個数))/1-公比

です。

ちょっと、覚えにくいですね。

(しかも、公比が1のときは使えません。)

 

等差数列の和の公式ですが、これは「導き方」も覚えておきましょう。

いざとなったときに思い出す……というより、

この後の「シグマ計算」で同じアイデアをつかうからです。

 

意識するポイントは、「公比(個数)のところです。

難しい設定でこの式を使うとき、悩むのはいつもココでした。

 

等比数列の和については、導出は地味に手間です。

結果をしっかり覚えておきたいですね。

何度も繰り返し練習しましょう。

 

「1-公比」と「公比-1」の2パターンを習うと思いますが、

覚えるのはどちらか1つでOKです。

好みの式を覚えれば大丈夫なのですが……

数Ⅲを勉強する人は、「1-公比」で覚えた方がいいです。

 

上級者向は、

xn-1の因数分解

と絡めて覚えておきましょう。

等比数列の和か、上記の因数分解か、

どちらかを覚えておけばもう片方はすぐに思い出せます。

 

 

等比数列ですが、数列の中盤・後半で頻繁に出てきます。

その分、大学入試の実戦でも(計算の中で)ピョコピョコ顔を出すのですが、

「等比数列であることに気づきにくい」

ことがあります。

指数がらみの計算をあまり習っていないことも原因でしょう。

時間をかけながら、

「等比数列は、一瞬で見抜ける」

ようになっていきましょう。

電話 メール
13:00~20:00(月~金)
東京都武蔵野市境一丁目