スタディサプリ 高3トップレベル数学Ⅲ 第7講 挟んで極限 チャプター3~5|大学受験エリート

スタディサプリ 高3トップレベル数学Ⅲ 第7講 挟んで極限 チャプター3~5

大学受験エリートのSuuです。

この記事では、スタディサプリの映像授業について、

「オススメの視聴法」

「授業のポイント」

などを、具体的に紹介していきます。

 

今回扱うのは、

高3トップレベル数学Ⅲ

第7講 挟んで極限

です。

この記事では、チャプター3~5について扱います。

 

チャプター3~5は、問題[B]の解説です。

 

 

Chapter3

はさみうちの原理を使うにせよ、使わないにせよ、

極限値を予想しておく

ことはとても重要です。

式変形や解答の方針が非常に立てやすくなりますからね。

特に、はさみうちの原理を使う場合は、

上下から評価する式に何をもってくるのか?

を考えやすくなるため、恩恵が大きいです。

 

開始から7分0秒ぐらいまで、

問題文の設定に沿って素直に考察しています。

グラフのかきかたですが、

sin(x+a)→sinxを、x軸方向に―a平行移動したもの

です。

xsinxのグラフですが、sinxと似たような波うったグラフになります。

グラフを考えるコツですが

x=nπ で0

x=π/2+nπ あたりが山のてっぺん

となることに注目して、グラフをかいていくといいです。

 

さて、7分0秒あたりからの式変形が重要です。

授業動画の中で先生が言っている通り、

「少しでも文字を減らそう」

「文字をなるべく集めて、まとめよう」

という方針で変形しましょう。

 

図の考察のしやすさが、そのまま極限計算のしやすさに直結します。

式変形の結果、非常に考察しやすい図になりました。

極限値は自信を持って0と分かります。

さて、後は数式で示していくか……というところで、チャプター2へ続きます。

 

Chapter2

チャプター1の最後に、

tanxn=sina/(xn-cosa)

という式に辿り着きました。

調べたいのは

xn-nπの極限値でしたが、

この式のn→∞での挙動も考えておきます。

左辺のtanxnは……分からない。

というか、これが分かれば

xnの極限が分かり、xn-nπの極限が分かることと同じかあ。

右辺は、0に収束するな。

ふむふむ。

……と、トップレベルを目指す人は、さらっとこのぐらいの考察ができるように訓練しましょう。

なんとなく思いついた式変形を繰り返すのではなく、

普段から、式を眺めて、特徴をとらえて、「なぜ、その式変形をするのか?」を考えてから計算をする

という訓練を積んでいくことが大切です。

 

さて、どこから

xn-nπ

を出していきましょうか。

サラリと流されていますが、かっこいいテクニックが出てきます。

tanxが周期πの周期関数

ということに注目すれば、

tan(xn-nπ)=tanxn

と分かるので、

xn-nπの式をすぐに出せるのですね。

意外と、周期性は見落としがちです。

「三角関数のグラフは、同じ形の繰り返し」

ということは、常に頭の片隅にいれておきましょう。

これが、周期性の意味するところですから。

 

また、4分15秒あたりから先生が注意しているところは、

非常にうっかりしそうです。

(実戦なら、私もうっかりしそうです 汗)

気づきさえすれば、そこからの議論は簡単です。

大切なのは、

tanx→0でも、x→0とは限らない

ということに、気づくことですね。

そのためには、普段から意識して精密な議論をするに限ります。

トップレベルを目指す人は、「なんとなく」ではなく、

一つひとつの議論を精密に行う意識を、普段の一問一問から持ちましょう。

 

Chapter5

問題(2)の解説です。

開始~4分30秒までの考察・解説が最重要です!

n(xn-nπ) ……①

の極限を調べたいのですが、このままでは変形のしようがありません。

なにか、別の式で評価して

tanxn=sina/(xn-cosa)

の条件を使っていきたいところですが……

tan(xn-nπ)=tanxn

ですから、

tan(xn-nπ)= sina/(xn-cosa) ……②

を使っていくのでしょうか。

 

ここで、①と②を繋ぐために、

三角関数がらみの定番の不等式評価を利用します。

 

三角関数がらみの不等式評価

x≒0のとき、(x→0のとき)

x ≒ sinx ≒ tanx

 

とくに、その大小関係は、x > 0 において、

sinx < x < tanx

 

これは、1分40秒~2分0秒あたりで先生が板書した図とセットで、頭にイメージしておきましょう。

むしろ、式を覚えるというより、図の方で覚える感覚がオススメです。

 

cosxは考えなくていいの?

と感じた人もいるかもしれません。

cosxは、x→0のとき1に収束しますから、cosx≒1です。

定数として扱えるため、x→0のときにcosxを評価する必要はありません。

そのため、cosは登場せず、x,sinx,tanxの評価だけ紹介されるのですね。

 

 

もしも、

x≒0のとき、x ≒ sinx ≒ tanx

を忘れてしまったときは、

sinx/x→1  (x→0)

の式から思い出しましょう。

この式が、x≒0のとき、x ≒ sinxを意味しています。

 

同じように、

(ex-1)/x →1 (x→0)

という、数Ⅲで覚えるべき極限公式から、

x≒0のとき、ex≒1+x

という、指数関数を多項式で近似する関係も得られます。

この式も、三角関数の近似・評価とセットでおさえておきましょう。

 

対数関数の近似式もあるのですが、これは自力で考えてみましょう。

具体的に、課題とします。

 

課題

sinx/x→1  (x→0) から、『x≒0のとき、x ≒ sinx』

(ex-1)/x →1 (x→0) から、『x≒0のとき、ex≒1+x』

をイメージできたように、

対数関数についても、

極限公式から、対数関数を多項式(1次式)で近似する関係を考えましょう。

 

そうそう、余談ですが。

数Ⅲをやっていると、ちょこちょこと出てくる

Taylor展開(テイラー展開)

ですが、この考え方の延長です。

つまり、今は1階の微分の極限計算から、多項式(1次式)での近似を考えましたが、

これを2階の微分、3階の微分、……

を考えて、多項式で近似していくのがTaylor展開です。

(特に、x=0付近での展開を考えるのが、Maclaurin展開ですね。

 

 

式を考察して、いじくりまわして……

として、はさみうちで使う評価式を見つけるのも大切ですが、

定番の評価式は知っておくのも重要です。

今回の授業動画や、この記事で紹介した

三角関数、指数関数、対数関数の近似式はしっかり習得しましょう。

 

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