こんにちは！
大学受験エリートのSuuです。
高校数学の勉強ポイント、落とし穴、見どころなどを
単元別に紹介していく
るるぶ高校数学のコーナーです。
今回は、
数Ⅱ 式と証明 その５ 等式の証明
についてご紹介します。
前回までの内容は大丈夫でしょうか？
軽くおさらいしましょう。
◎二項定理は、式の見方をとらえてきちんと覚えよう
◎多項式の余り付き割り算は、「計算」じゃなくて「式変形」
◎恒等式とは、「同じ式」のこと
◎多項式/多項式の扱いは普通の数と同じ
◎分母・分子の次数に注目して、「余り付き割り算」「部分分数分解」で次数下げ
いかがでしょうか。
１つひとつの計算も軽くはありません。
習得には時間がかかるのが普通です。
腰を据えて計算練習に取り組みましょう。
さて、今回の「等式の証明」の内容に入ります。
ポイント① 等式の証明は全解法を練習して、腕力・判断力を磨け！
『等式A＝Bを示せ』と言われたら、次の４つの方法が定番です。
㋐左辺のAを変形して、Bにする
㋑右辺のBを変形して、Aにする
㋒左辺のAを変形してあるCに、右辺のBを変形して同じCにする
㋓左辺－右辺を計算して、0になることを示す
（A-B=0 を示す）
別の方法が絶対にないとは言いませんが、まず㋐～㋓のどれかで対応できます。
実戦で問われるのは、
㋐～㋓のどの方法を選択するのか？
の判断になります。
その判断力を磨く方法としてオススメしたいのが、
１つの問題を、㋐～㋓のすべての方法で解く
という練習です。
例えば、ある問題を、
㋐左辺を変形して右辺にする
方法で証明できたら、残りの㋑～㋓の方法での証明にもトライします。
自力では解けなかった問題でも、複数パターンでの証明にトライします。
模範解答が、
㋓左辺－右辺＝０を示す
方針だったら、残りの㋐～㋒の方法での証明に挑戦します。
このように、１つの問題に対して、すべての証明方針でのトライをするのがいい練習になります。
この練習のメリットは２つあります。
メリットの１つ目は、式変形の腕力がつくということ。
普通の式変形とは逆モーションの式変形を練習することになるのですが、
これが中々に式変形の腕力を鍛えてくれます。
メリットの２つ目は、証明方針決定の判断力が養われるということ。
㋐～㋓のどの方針を選ぶのか？
を考えるときに大切なのは、
「複数ルートの計算がある程度浮かんで、その難易度判断をする」
という能力です。
この複数ルートの難易度判断をする能力を鍛えるには、
「複数ルートでの計算をして、その難易度を比較する」
という経験が重要になります。
実は、等式の証明は
『どれかの方法で証明できたら、他の方法でも証明できる』
ようになっています。
1つの等式を色々といじって遊んだ経験が今後重要になるので、
複数方針での解答を考える訓練を積んでいきましょう。
この分野は、その練習に最適です。
ポイント② 両辺の複雑度を比べて、複雑な式から変形していく
とはいえ、方針㋐～㋓を選ぶときの簡単な基準ぐらいは紹介しておきます。
基本は、
複雑な式から変形する
です。
ポイント①の、「全パターンの証明を練習！」にトライすると体感できるのですが、
簡単な式を変形するのはかなりテクニカルな動きが必要になります。
基本的には、「複雑な式を簡単にする」のが自然な式変形です。
その自然な式変形に乗っかって証明するのが、一番楽なことが多いです。
そのため、等式の証明に出会ったら
左辺、右辺の式の複雑さを比較しましょう。
左辺の方が複雑→㋐左辺のAを変形して、Bにする
右辺の方が複雑→㋑右辺のBを変形して、Aにする
左辺、右辺ともに複雑→㋒左辺のAを変形してあるCに、右辺のBを変形して同じCにする
その他→㋓左辺－右辺を計算して、0になることを示す
と言う風に、左辺・右辺の複雑さから証明方針を決めるのが１つの方法です。
（ただし、例外も数多いため、過信はしない方がいい基準です。）
ポイント③ 比例式は「=k」とおく
比例式が絡んだ等式の証明も出てくるかもしれません。
比例式には、大学受験の入試でも役に立つ鉄板の格言があります。
比例式はｋとおけ
です。
a:b=c:d
a/b=c/d
などの式を比例式といいます。
（注意１ 上の２つの式は表示が異なるだけで、式としては同じことを意味しています。）
（注意２ a/b=c/d=e/f のように、３つの場合の比例式でも以下の話は同じです。）
このような式に出会ったら、
a/b＝c/d＝ｋ
という処理をするのが鉄板です。
このように「=k」とおいた後は、
a=bk
c=dk
の関係式を使って、
代入して文字を減らすのも定番です。
ポイント④ 条件式から文字を減らそう
「a+b+c=0 のとき」のように、条件つきで等式の証明をすることもあります。
このときは、条件式から文字を減らすのが１つの手筋です。
具体的には、
c=-a-b として、代入して文字cを消す
とします。
（a=やb=の形でもOKですよ。）
文字を減らす作戦は、「比例式」と同じですね。
基本的に、文字が少ない方が式の処理は簡単になります。
これは等式の証明に限った話ではありません。
大抵は、
条件式１つで、文字が１つ減らせる
と思ってOKです。
そして、
文字を減らせないかな？
と常に意識するのは、どんな分野の問題でも必要な意識です。
ポイント⑤ 常にゴールをイメージして変形しよう
これが今回最後のポイントです。
等式の証明では、どんな問題でも
「ある目的に向かって、式変形する」
ことになります。
㋐左辺のAを変形して、Bにする
この方針のときは、Bがゴールですね。
㋓のA-B=0の作戦なら、「0」がゴールです。
始めは闇雲な計算でもよいと思いますが、
慣れてきたら、「ゴール」の形を意識しながら変形しましょう。
例えば……多項式なら、「次数」とか重要ですよね。
あるいは、「残っている文字の種類」なども注目ポイント。
変形のゴールの特徴をとらえながら、式変形をするのも大切です。
慣れてきたらで構いませんので、意識していきましょう。
上級者を目指すなら、「適切なゴールを設定する」という技術も習得したいですね。
例えば、
実数X,Y,Zのうち、少なくともどれか１つが0であることを示す
→XYZ=0 がゴール
実数X,Y,Zについて、X,Y,Zのすべてが0であることを示す
→X2+Y2+Z2=0 がゴール
など。
このあたりの証明のゴール設定のテクニックは、
知識として習得していきましょう。
いかがでしょうか。
計算がメインの、無味乾燥で面白みのない内容が続きますね。
とくに等式の証明は、人工的な問題が多いので、
いっそう無味乾燥な印象があります。
だからこそ、ここの問題で遊んで欲しいです。
１つの証明問題を、色々な方針で証明する。
これが、他の受験生と差をつける重要な練習になります。
ぜひ、取り組んでみましょう。