るるぶ高校数学 数Ⅰ ②集合と論理 その4 対偶と背理法|大学受験エリート

るるぶ高校数学 数Ⅰ ②集合と論理 その4 対偶と背理法

こんにちは!

大学受験エリートのSuuです。

 

高校数学の勉強のポイント、落とし穴などを紹介する、

るるぶ高校数学のシリーズです。

 

今回は、

数Ⅰ 集合と論理 その4 対偶と背理法

です。

前回

 

前回は、命題の否定について紹介しました。

命題の否定は機械的にビシバシと書けますか?

前回の記事で「機械的に書くためのポイント」を紹介しているので、

参考にして練習しましょう。

 

今回は、命題の性質を利用した「証明テクニック」の紹介です。

『心構え』がメインの前々回、『機械的な暗記』がメインの前回を乗り越え、

ついに

大学入試数学 実戦で使うテクニック

の内容です。

 

具体的には、

対偶を利用した証明

背理法

の2つの証明テクニックを紹介します。

 

ポイント① 『P ⇒ Q』の証明は、『Qでない ⇒ Pでない』を証明してもいい

数学で出題される証明問題は、基本的に

『(仮定)⇒(結論)』

の形です。

 

「~のとき」などと書いてあったら、その前部分が仮定ですね。

いずれにせよ、

『P⇒Q』

の形の命題を証明することになります。

 

ここで、

『Qでない ⇒ Pでない』を証明すれば、

『P ⇒ Q』を証明したことになる

というルールがあります。

 

『(仮定)⇒(結論)』を示すには、

『(結論の否定)⇒(仮定の否定)』を示せばいい

ということです。

 

命題『P⇒Q』に対して、『Qでない⇒Pでない』という命題を

対偶

と言います。

そのため、上記の証明法は

「元の命題の、対偶を証明する」

と呼ばれます。

 

この「対偶の証明」は、非常に有効な証明テクニックです。

 

ポイント② 対偶を使って、『使いにくい仮定』『示しにくい結論』を回避する!

対偶を使って証明をすると、

『(仮定)⇒(結論)』

の代わりに

『(結論の否定)⇒(仮定の否定)』

を証明することになります。

証明のスタートとゴールが全然違うものになっていることに注目しましょう。

 

対偶を使う目的は、ここにあります。

元の仮定(スタート)や結論(ゴール)の条件が扱いにくいときに、

扱いやすいスタートとゴールにとりかえて証明する

のが対偶をつかうポイントです。

 

具体的な例は、問題演習を通じて学んでいきましょう。

 

ただし、大切な注意が1つあります。

大学入試の本番では、

「対偶を使うといい」

ということを自力で見抜く必要があります。

問題集や、定期テストなら「対偶を使えばいい」とあらかじめ分かりますが、

実戦は違います。

 

そのため、

問題の『(仮定)⇒(結論)』と、

対偶の『(結論の否定)⇒(仮定の否定)』では、

どちらが証明しやすいのか?

を素早く判断しないといけないのが本番です。

『否定』したらどういう命題になるか?

『否定』する前と後で、扱いやすい・示しやすい条件はどちらか?

をスムーズに判断するということですね。

当然、『否定』がどういう形になるか、

バリバリとイメージできないと始まらないですよね。

だから、命題の『否定』は素早く・正確に書けるよう、

訓練をしておきましょう。

 

最後に、『扱いやすい条件・扱いにくい条件』について、

参考となるイメージを伝えておきます。

 

『〇≠△』……扱いにくく、示しにくい。

→否定をとった『〇=△』の方が扱いやすく、示しやすい

 

『〇は無理数』……扱いにくく、示しにくい。

→否定をとった『〇は有理数』の方が扱いやすく、示しやすい

(有理数なら整数/整数でかけたり、四則演算で閉じたりしていて、

条件が多い。)

 

『〇〇は存在しない』……示しにくい。

→否定をとった『〇〇が存在する』の方が条件として扱いやすい

 

ポイント③ 結論を否定して、矛盾を導く『背理法』

次の証明テクニックは、『背理法』です。

『結論の否定』を仮定して、矛盾を導く

というのが背理法です。

特殊なのは、

「矛盾を導く」

がゴールであることです。

 

背理法のイメージですが……

あまりよくないのですが、

ミステリーのアリバイに例えてみます。

 

仮定 自分にはアリバイがある

証明したいこと 自分は犯人じゃない

 

【証明】

もしも、私が犯人だとしましょうか。

(↑『結論の否定』を仮定する)

すると、私は3時に、東京にいたことになるでしょう。

(↑『結論の否定』から推論する)

でも、私は3時には大阪にいたんです。

(↑仮定のアリバイから推論する)

これは矛盾していますよね、だから私は犯人ではありませんよ。

(↑矛盾を導けたので、否定する前の「結論」が正しいと主張する)

 

数学らしさには欠けますが、上記のような論法だと思ってOKです。

案外、身近(?)な議論でちょくちょく使われているのが背理法かもしれません。

 

ポイント④ 背理法は、『矛盾の導き方』に注目して勉強しよう

『結論の否定』を使うところは、対偶の証明でも背理法でも同じです。

対偶を使った証明は、スタートとゴールを少し取り換えはするものの、

証明の流れ自体は普通の証明と同じです。

一方、背理法は証明の流れ自体が特殊です。

特に、

「矛盾を導く」

ことがゴールである点が、他の証明法と異なります。

 

そのため、最初に背理法を見たときは、戸惑うのが普通です。

今までの証明とは、狙っている落としどころが全然違いますからね。

 

そんな背理法をマスターするためのポイントとして、

どうやって矛盾を導いているのか?

に注目して、証明を読み解くのをオススメします。

 

例えば、背理法の典型例として学習する

「√2が無理数であることの証明」

で考えてみます。

√2が有理数だと仮定して、

√2=p/q と置くのが初動ですが……

このときに、「pとqは互いに素」するのがミソですね。

最終的に、

『pとqが2を共通の約数として持つから、矛盾』

とするのがゴールです。

 

この、

どう矛盾を導いたのか?

というゴールに一番注目しましょう。

 

自力で、「√2が無理数」を背理法で示す場合、

ゴールとなる「矛盾」が見えているかどうかが大切です。

ゴールが曖昧だと、どこに進んでいいのか分からなくなりますからね。

 

こんな矛盾の導き方があった!

こんな矛盾が出てくるんだ!

というのを、色々な背理法に触れるたびに覚えていきましょう。

その積み重ねで、

「ここから矛盾が出せるな」

「あっちに行けば矛盾に辿り着くな」

という予想が立てられるようになってきます。

そうすると、段々と背理法が上手くなっていきますよ。

 

 

対偶を利用した証明は、仮定・結論を取り換えるだけで、

結局は通常の「証明力」がベースです。

一方、背理法は「矛盾を導く」という独特のゴール設定のため、

習得に時間がかかります。

「どうすれば矛盾が出てくるか?」

を考える必要があるのですが、

すぐには浮かぶようになりません。

最初は、証明の例を見ながら、

「こういう風に、矛盾が出てくるんだ!」

という点に注目し、知識を習得していきましょう。

 

 

電話 メール
13:00~20:00(月~金)
東京都武蔵野市境一丁目