大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを紹介していきます。
今回は、
高１・高２ トップレベル数学ⅠAⅡB 第２９講
通過領域
です。
この記事では、チャプター２、３について扱います。
Chapter2
問題（２）の解説です。
問題（１）では、
「aはすべての実数」
だったのが、
「aは正の数」
の条件に変わったのが問題（２）です。
解法の方針は問題（１）と同様です。
円Cの方程式を
fa(x,y)=0
とします。
点（p,q）が通過領域に入る
⇔点(p,q)を通る円Cが存在する
⇔fa(p,q)=0を満たす正の数aが存在する
⇔aの方程式fa(p,q)=0が正の解をもつ
と言い換えて、２次関数の解の配置問題に帰着させます。
上の言い換え方で、
「少なくとも１つの正の解をもつ」
条件の２次関数の解の配置問題になっています。
「少なくとも１つの解が正」なのか「２つの解が正」なのか、
どちらなのか不安な人は授業動画で確認しましょう。
最初の４分ごろまで間で、堺先生が丁寧に解説してくれています。
さて、問題を言いかえた後は
２次方程式の解の配置問題
の熟練度が問われます。
文字係数の方程式と論理の腕力で落とす力もいりますが、
ここでは解の配置問題に注目します。
基本的なことを確認しておきましょう。
２次方程式の解の配置問題では、
①軸の位置
②判別式
③区間の端点の値
の３つに注目して処理をするのでした。
後は、細かいのですが
「２乗の係数」を固定する
のも大切です。
上に凸か、下に凸かが切り替わると、処理がやっかいになります。
両辺を割って、「２乗の係数」を１にしたテクニックもお見逃しなく！
そして、
正の解を少なくとも１つもつ
という条件は、ちと扱いにくい条件です。
正の解が１つのパターンと、２つのパターンがありますからね。
ここは、その否定をとった
0以下の解を２つもつ
という条件を考えて、全体から引くという方針で処理しています。
「少なくとも」という条件は扱いにくいので、
「否定」を考えて処理するのは定番ですね。
非常にうまい手筋なのですが、細かい注意点があるので確認しておきましょう。
「否定」を考えて全体から引くのですが、
ここでの「全体」とはどこでしょうか？
0以下の解を２つもつ
をそのまま否定すると、
正の解を少なくとも１つもつ、または実数解をもたない
となります。
実数解をもたない、という題意にそぐわないところまで出てきてしまいますね。
これを防ぐために、
実数解をもつという条件を「全体」として考えます。
言いかえると、
問題（１）の解答を「全体」として考える
ということです。
授業動画ではテンポよく進んでいますが、
ウッカリしやすいところなので注意しましょう。
さて、
「解の配置問題」に帰着させるメインの言い換え
「否定」を考えるときの細かい注意点
を乗り越えました。
ここまで処理して初めて、
「２次方程式が、0以下の解を２つもつ」
という問題の処理に入れます。
この手の問題はさんざん練習していますよね？
サクサクと、
①軸≦0
②判別式≧0
③a=0の値≧0
の３条件で落とせると浮かぶよう、練習しておきましょう。
さて、ここでも細かいテクニックがあります。
②判別式≧0
というのは、問題（１）で求めた条件です。
さらに、今は
「全体から引いて、求める答えを得る」
作戦なのですが、このときの
「全体」
にあたるのが②判別式≧0の条件です。
ということは……改めて、②の条件を処理していく必要はありませんね。
①軸≦0
③a=0の値≧0
の２つの領域を考えて、
それを（１）の答えから引けば十分です。
この辺りの背景があって、堺先生は
「（１）の（Ⅰ）の結果」
という言葉を使って板書しています。
最後の最後で登場すれば十分な条件なので、
具体的な条件は不要なのですね。
この辺りの熟練の処理技術も、ぜひ注目しておきましょう。
１つ１つの技術は、言われてみれば簡単かもしれません。
ですが、実戦でこれらの技術を適切に使うのは、
容易ではありません。
すべてを一気に習得するのは難しいかもしれませんが、
１つ１つ「なぜ？」を考えながら、堺先生のマネをして練習しましょう。
Chapter3
問題（３）の解説です。
チャプター１、２を視聴していれば、方針は浮かぶと思います。
円Cの方程式が
fa(x,y)=0
なのに対し、円Cの内部は
fa(x,y) < 0
と表せますね。
円Cの内部が点(p,q)を通過しない
⇔fa(x,y) < 0を満たす実数aが存在しない
⇔aの不等式fa(x,y) < 0が実数解をもたない
と言い換えて、２次不等式の実数解判定に帰着させます。
うっかり、
「通過する領域を求めて、全体からひく」
としそうになります。
ですが、授業動画のように、
直接通過しない領域を攻める方がスムーズですね。
２次不等式の問題に実数解判定に帰着したあとは、論理の腕力で処理していきます。
第３８講 方程式・不等式の解
の問題を、どれだけ反復練習しているかが問われます。
なかなか、重い問題でした。
文字係数の方程式・不等式を解ききる論理的腕力
２次方程式の解の配置問題の熟練度
の２点が、前提能力して要求されます。
動画を眺めた印象以上に、自分の手で解くのは大変だと思います。
とはいえ、トップレベルを目指す人は習得すべき問題です。
前提の能力をしっかり磨いた上で、問題練習をこなしていきましょう。