大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを紹介していきます。
今回は、
高１・高２ トップレベル数学ⅠAⅡB 第４１講
複数の変数の取り扱い
です。
変数が複数あるときの最大・最小値の扱いがテーマです。
（この講座、私は「複素変数の取り扱い」というタイトルに見えて、
どんな発展内容なのかとビビりました。）
後半の内容と関連する講座として、
第３０講 領域と最大最小問題
があります。
４１講は、３０講の内容をおさえたうえで視聴することが大切です。
複数変数の取り扱いですが、対処法が色々あるのが厄介な点です。
先に、複数変数の最大・最小で使う手法をまとめておきます。
①１文字固定
②１文字消去
③パラメータ表示による１文字消去
④実数解条件への帰着
⑤図形の共有点への帰着
①～④が４１講で紹介されている内容で、
⑤は３０講の内容です。
④と⑤は論理的なカラクリは同じなのですが、
計算で処理するか図形的に処理するかが異なります。
ちなみに、定番の処理として補足するなら
⑥基本対称式による変数変換
もあります。
u=x+y、v=xy
と文字を置きかえるパターンで、対称式が絡んだ問題に有効です。
興味のある人は調べてみましょう。
Chapter1
問題（１）の解説です。
答案自体は、
２回平方完成をして終わり
でOKです。
ですが、
「１文字固定」
の考え方をしっかり習得しましょう。
１つ文字を固定して考えて、最大値を求める
固定した文字を後から動かして、最大値の中の最大値を調べる
という流れで処理します。
最大・最小を考えるときの非常に素朴なアイデアです。
カッコいい解法ばかりではなく、こういう素朴な考え方・手法も知っておきましょう。
また、堺先生が指摘している、
「複数の方針で問題を解く」
という訓練は、ぜひコツコツ続けて欲しいです。
実際の大学入試では、
複数の解法の中で、どの方針を選ぶか？
という判断が重要になります。
この方針判断の力を鍛えるためには、
「複数の方針で解いて、その流れを比較する」
という訓練が有効です。
こういうシンプルな問題だからこそ、
コツコツ複数の方針で解く練習をするのにピッタリです。
Chapter2
問題（２）、（３）を扱うチャプターです。
問題（２）は非常にシンプルなパターンです。
関係式から、文字を１つ減らす
というのは基本中の基本です。
また、堺先生が言っている大切なポイントを紹介します。
関係式１つで、文字が１つ減らせる
という感覚を持ちましょう。
関係式が２つあれば、文字は２つ減らせます。
実際に「どう文字を減らすのか？」は工夫が必要なことがありますが、
大雑把なイメージとして大体あっています。
（図形的には、
関係式１つで、次元が１つ下がる
と捉えてあげます。）
さて、一筋縄ではいかないのが問題（３）です。
関係式から、「x=」や「y=」の形にしても、式が複雑になるだけです。
知識として、
円の方程式は、三角関数を使ってパラーメータ表示できる
と頭に入れておきましょう。
具体的には、この問題のように、
円 x2+y2=4
の場合、
x=2cosθ
y=2sinθ
と表すことができます。
この置き換えを通じて、
「x,y」という２つの変数だったものが、
「θ」という１つの変数だけになります。
間接的に、文字の数を減らしていることに注目しましょう。
こういう、定番かつ威力のある文字の置き換えを使いこなすには、
三角関数sin,cosの扱いに慣れている
ことが必要になります。
そのため、堺先生は
三角関数は、大学受験の「九九」のようなもの
と言っています。
しっかり計算練習をして、三角関数、指数・対数の扱いには慣れておきましょう。
Chapter3
問題（４）、（５）を扱うチャプターです。
この辺りまでくると、少し難しいです。
前提の知識・イメージとして、
第３０講 領域と最大最小問題
の内容を知っておいた方がいいです。
第３０講では、
領域と直線が共有点をもつ
という条件に落として考えました。
まずは、どういう考え方でこの条件に落とせるのかをしっかり理解しておきましょう。
そのうえで。
今回の問題（４）、（５）では
「領域（曲線）を、図示できない」
という困難さがあります。
じゃあ諦めましょうか……とはいきません。
今回は、
「共有点をもつ」という条件を、
「実数解がある」という条件に言いかえることになります。
結局は、図形的に処理するか代数的に処理するかの違いがあるだけで、
根本の発想は第３０講のときと同じです。
そうそう、問題（４）の別解は非常にうまいですね。
x2+2xy+3y2=4が楕円
というイメージや知識があると、
(x+y)2+2y2=4
から、
x+y=2cosθ
√2y=2sinθ
という置きかえも浮かぶようになります。
問題（５）は、さらに複雑です。
共有点の問題→実数解条件
と帰着させたいのですが、１文字消去ではうまく行きません。
ここでも、円のパラーメータ表示を利用して変形していきます。
１つ１つの基本組合せであることに注目しましょう。
今度は……おっと、実数解条件に落とすまでもない形になってしまったようですね。
問題（５）は、ラッキーでした。
最後に、少しだけ補足しておきます。
円のパラメータ表示ですが、sin,cosを使わない形式もあります。
x=1/(1+t2)
y=t/(1+t2)
や、
x=(1-t2)/(1+t2)
y=2t/(1+t2)
なども円を表します。
（正確には、１点が抜けた円ですが。）
大雑把に言うと、
「傾きtの直線と円との交点」
を考えて作ったパラメータ表示です。
定番の使いどころは……そうですね、
単位円周上の有理点を求める問題
つまり、
ピタゴラス数を求める問題
あたりで使ってみるのはどうでしょうか。
最後は少し余談に走りましたが、複数変数の取り扱いは非常に重要です。
手法が様々で、勉強していて迷うと思います。
そういうときは、堺先生のアドバイスのように
複数のやり方でトライしてみる
という訓練が大切です。