大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを紹介していきます。
今回は、
高１・高２ トップレベル数学ⅠAⅡB 第４７講
p進法
です。
大変恐縮ではありますが、
タイトルは「p進法」よりも「N進法」の方が適切かもしれません。
（pを使うと、どうしても素数のイメージがついて回りますから……）
いきなりの余談ですが、
Googleで「p進法」と「N進法」を検索すると、
かなり検索結果が異なります。
これは、似たような名前なのに、
かなり違う世界の２つがあることが原因です。（本当にややこしい！）
p進法と言うと……2進の世界で、
1+2+4+8+……=-1
となるような世界の方が検索結果に出てきます。
調べものをするときは、「N進法」で調べる方がオススメです。
さて、余談はこのくらいにして。
N進法の問題の難しさはたったの一点で、
計算に慣れていないから
です。
小学校１年生から今まで、ずっと「１０進法」の世界で勉強し、生きてきましたからね。
いきなり「２進法で頼むぜ！」とか言われても困るのが普通です。
問題（２）なんか、「４進法」で算数を習う世界なら……小学２年生の問題かもしれません。
今から小学校１年生に戻って、
算数をイチから２進法で勉強し直せば、
２進法の問題なんぞ楽勝になるでしょう。
とはいえ、そんなことをしている時間はありません。
理性を働かせながら、効率よく「N進法」を扱えるようになりたいですね。
Chapter1
問題（１）の解説です。
N進法が絡んだ問題ですが、難しいと感じるのは
「N進法に慣れていない」
ことが原因です。
ではどうするか……素直な作戦でのぞみましょう。
一番慣れた、１０進法の世界で考える
これが非常に安心できる作戦になります。
この作戦で必要なのが、
N進法→１０進法への変換
１０進法→N進法の変換
の２つです。
このチャプターにはこの２つがそろっていますから、
しっかりと視聴しましょう。
N進法→１０進法
の変換は、N進法の定義を書き下すだけでOKです。
１０進法→N進法の変換は、うまい方法があります。
１５分１０秒ごろから解説されている計算法ですね。
使えると早いので、可能なら覚えておきたいところですが……
万が一忘れても、諦めないで下さい。
例えば３進法なら、
33はどれだけある？
32はどれだけある？
3１はどれだけある？
……と、力技で調べる手段だってあります。
どちらの方法も、
N進法の定義
がベースです。
まずはしっかりと
「N進法の意味」
を理解することが大切です。
ここまでが理性的な対応なのですが、原始的な対応・勉強もおさえておきましょう。
さかのぼって、授業動画の開始から７分４０秒ごろまでの内容も大切です。
「N進法」の数字を、小さい方から順に書いていく訓練です。
ものすご～～～く、昔のことを思い出して下さい。
最初に「数」について習ったころです。
数について学ぶとき、一番最初にすることは
いーち、
にーい、
さーん、
よーん、
ごーお、
ろーく、
なーな、
はーち、
きゅーう、
じゅう！
を覚えることではありませんか？
当たり前ですが、１から順に数を数えていけないと、
足し算も引き算もできません。
（ちなみに、上記のように数え方を覚える時点で、
すでに１０進法の訓練が始まっていますね。）
N進法でも同じです。
N進法に慣れるには、まずは
N進法の中で、小さい順に自然数を書いていく
という作業が大切です。
非常に原始的な訓練です。
ですが、自分の数の概念の習得過程を思い返すと、
真っ先にやるべき最重要訓練だと分かりますね。
理性を働かせて定義からN進数を処理する方法と、
原始的にN進数に慣れる方法と、どちらも大切です。
しっかり、授業動画の中から吸収しましょう。
Chapter2
問題（２）の解説です。
N進法が絡むと難しく感じますが、本質的には
27+49
27×49
27-49
の３問です。
私は小学生じゃないよ！！
と叫びたくなるような問題です。
（負の数が絡むので、厳密には中学校の内容ですが。）
そうそう、このような変換がすでに定番の作戦ですね。
一番慣れた、１０進法に書き換えて処理する
素晴らしい安心感のある作戦です。
困ったら、大体この作戦でいいと思います。
N進法→１０進法
１０進法→N進法
の変換さえできれば、だいたい処理可能です。
もう１つは、堺先生がやっているように
「N進法のままで計算する」
作戦があります。
四則演算の根本的な性質は、N進法でも１０進法でも同じです。
そのため、
小学校で習った筆算
は、N進法の世界でも使えます。
ただし、
繰り上げるポイントが違う
点だけ注意しましょう。
１０進法が「１０」になったら繰り上がるように、
２進法なら「２」で、４進法なら「４」で繰り上がりがおきます。
理屈上は、繰り上がりの場所さえ注意すれば、
N進法のままでも計算できるはずですが……
非常に慣れない計算で、やってみると難しい
のが現実です。
遊びで挑戦するのは構わないですし、
トップレベルを目指す人にはぜひチャレンジして欲しいです。
ですが、実戦的には
「１０進法に戻って考える」
作戦で、必ず検算することをオススメします。
Chapter3
問題（３）の解説です。
すこし、問題らしい問題（？）になりましたね。
結局はゴリゴリ処理していくだけなのですが……
なにをしているか想像しにくい人もいるかもしれません。
やっていることのイメージを掴むために、
参考になりそうな「１０進法での類題」を作ってみました。
【１０進法での類題】
３桁のある自然数は、３つある各位の数字の２つが入れ替わったところ、
もとの数の４倍になったらしい。
このような自然数は存在しますか？
はい、普段の１０進法の問題です。
元の数を100a+10b+cとおいて……
と解くことになりますが、少しこのまま考えてみましょう。
これ、
100の位の数は1か２
とすぐに想像つきますよね。
100の位の数が３以上だと、４倍したら確実に４桁以上の数ですからね。
（300×４=1200をイメージしましょう）
また、
少なくとも、100の位の数は入れ替わりに関わっていないとおかしい
こともイメージできると思います。
さらに、
1の位が入れ替わらなかった場合、自動的にc=0
ことも分かります。
こういった考察を背景に、あとはしらみつぶしにチェックしていけばいいのです。
aは1~9、b,cは0~9のどれかであることもポイントですね。
授業動画でやっている解法は、大体こんな雰囲気です。
今の議論が、５進数だとどうなるのか？
をイメージしながら、授業動画を視聴するとよいと思います。