大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを紹介します。
今回は、
高１・高２ トップレベル数学ⅠAⅡB 第２１講
数学的帰納法
です。
今回の問題は、
数学的帰納法がちゃんと議論できる人にとっては簡単かもしれません。
ただ、堺先生がそういう問題をもってきているということは……
それだけ、数学的帰納法の証明ができない生徒が多い
ということです。
数学的帰納法は非常に強力な証明の道具です。
トップレベルを目指す人は、確実に習得する必要があります。
Chapter1
問題（１）を扱うチャプターです。
非常に基本的な問題を通じて、
数学的帰納法の原理
数学的帰納法の証明の書き方
を丁寧に説明してくれています。
数学的帰納法の原理の説明ですが、
普通の教科書・参考書とは違う説明がされています。
面白いので、「帰納法の原理なんて分かってるよ」という人も、
一度は視聴するのがオススメです。
ただ、原理の理解自体はお好みの方式でOKです。
「ドミノ倒し」とかでも十分だと思います。
さて、後半から数学的帰納法の証明が始まります。
帰納法の証明で大切なのは、
「きちんとした型通りに、証明を書くこと」
です。
教科書でもいいし、参考書でもいい。
堺先生の板書でもいい。
なんでもいいから、
正しい型を１つ決めて、
その型通りに証明を書けるように練習しましょう。
日本語が多くて面倒だと感じるかもしれませんが、
それでも必ず型通りに書きます。
「この言葉、帰納法の証明のたびに書いているな……」
と感じるのが正常です。
あくまで証明ですから、正しい内容が入っていて、それが相手に伝わればいいのです。
そういう意味では「書き方の型」というのは本質的にはどうでもいい話です。
実際、大学以降の帰納法の証明は、かなりラフな書き方をします。
ですが、ラフな帰納法の書き方は大学に入ってから覚えればいいのです。
大学に入るまでは、面倒でも、丁寧で正しい帰納法の証明を書きましょう。
その理由ですが……
ちょくちょく、何を書いているのか分からない帰納法の証明をみかける
からです。
面倒でも、しっかりと正しい型を習得することが大切です。
さて、帰納法の証明は、次の２つを示します。
①n=1のとき正しい
②n=kで正しい⇒n=k+1で正しい
特に、②のパートは「書き方」が悪いと意味不明になるので、
正しい型を意識する必要があります。
ここは、堺先生の板書通りの型で説明しましょう。
②の初動は、
『n=k(≧1)のとき
〇〇
が成り立つと仮定すると、』
と書きましょう。
一言一句、省略していけません。
問題によって変えるのは、「〇〇」の部分だけです。
そして、②の最後は、
『n=k+1のときにも△は成立するので、
数学的帰納法により◇は示された』
で締めます。
ここも、一言一句、省略不可です。
△と◇のところだけ、状況にあわせて変えていきます。
②の初動と、②のラストの文言は２つでセットになっています。
そのため、きちんと２つセットで、正確に日本語を書ける必要があります。
お手本通りの日本語で、証明を書くこと！
数学的帰納法の習得のための大切な訓練です。
もう１つ、別の練習も必要です。
②n=kで正しい⇒n=k+1で正しい
を示すときに、仮定と結論を正しく認識すること
です。
先生の板書だと、右上に枠で囲って書いたところが、
示すべき結論です。
証明の結論部分なので、答案に書くわけにはいかないのですが、
目指しているゴールは必ずノートに書きましょう。
これもかなり大切です。
帰納法に慣れると省きたくなりますが、必ず意識しましょう。
あらためて、おさらいします。
お手本通りに、証明を書こう
証明のゴールは必ず書き出そう
この２点を守って、数学的帰納法の勉強してください。
Chapter2
問題（２）、（３）の解説です。
問題（２）では、
『示すべきゴールを書き出す』ということが大切になります。
つい、かっこつけて、
『帰納法の仮定の両辺に、1/(k+1)を足すと』
とやりたくなります。（気持ちは分かります）
ただ、そうすると意外とややこしく、
沼にハマることがあります……。
かっこつけたい気持ちをおさえて！
ゴールが不等式の証明だから、
（大きいほう）ー（小さいほう）
を計算するのが自然です。
少し面白みがありませんが、帰納法による証明は
地道で泥臭いもの
と思い、諦めて下さい。
（勉強を続ければ、ダイナミックで面白い帰納法にもいずれ出会えます。）
問題（３）は、帰納法の仮定を使わなかったパターンです。
こういう場合は、
帰納法でなくても示せる
ということです。
今回は帰納法の講座なので、それでも帰納法で解いています。
ただ、「帰納法の仮定を使わなかった帰納法」の答案を見たとすると、
ちょっと数学的な感覚を疑われるかもしれません。
（違和感がスゴイです）
問題（３）のようなケースは、可能なら、
答案には帰納法を使わずに書いた方がいいと思います。
Chapter3
問題（４）の解説です。
ここまでの基本ができていれば、かなりのところまで食らいつけると思います。
問題（４）では、初期値の議論が
「n=1」だけでなく、「n=2」も必要になります。
こういう初期値の調整ですが、
最初に問題を解いているときには分かりません。
議論を進める過程で、授業動画のように
「あ、これはn=2も必要だ」
と気づきます。
参考書などの模範解答だけみると、あたかも最初からすべてを予言したかのように書いてありますが……
騙されないようにしましょう。
実戦的には、こういう後からの微調整もできるようになっていきましょうね。