大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを紹介します。
今回は、
高１・高２ トップレベル数学ⅠAⅡB 第１３講
面積以外の積分計算
です。
面積が絡まない状態での積分計算の問題です。
積分で表された関数や、絶対値が絡んだ積分の問題について取り扱います。
積分で表された関数は、初見時はビビります。
ただ、対応方針がある程度決まっているので、
定番の対応策をしっかり習得しましょう。
絶対値が絡んだ積分は……ゴリゴリ頑張りましょう。
絶対値がらみは、なんだかんだ厄介ですね。
Chapter1
問題（１）、（２）を扱うチャプターです。
問題（１）や（２）のように、「積分で表された関数」の扱いを習得しましょう。
問題の解答に入る前に、堺先生が丁寧に積分入りの関数の扱いを紹介してくれています。
この部分が一番大切なので、じっくり視聴することをオススメします。
問題（１）と（２）は、「積分入り」という点では同じような見た目をしています。
ただ、実際の中身は別物です。
定積分→計算結果は定数
不定積分→計算結果は関数
と言う具合に、定積分と不定積分では計算結果が全然異なります。
まずはこの差をきっちり認識しましょう。
問題（１）にある積分は「定積分」、問題（２）にある積分は「不定積分」です。
さて、具体的な対応ですが……
定積分は、積分で書かれていると非常に仰々しい式ですが、中身は「１」とか「２」のような「数」です。
そのため、見た目をスッキリさせるために
「定積分＝ｋ（定数）」
と置いてあげます。
それだけでかなり見やすくなります。
問題（１）なら……
f(x)は結局１次式
ということが見えるようになりますね。
ココさえ分かってしまえば、なんとか処理できそうな感触になります。
不定積分は、
積分して微分すると元に戻る
ということを利用します。
そのため、不定積分を見たら微分してあげるのがセオリーです。
積分される関数がそのまま出てきます。
また、積分区間が[a,x]なら、x=aを代入するのも手筋です。
どんな積分か分からなくても、とりあえず[a,a]の積分だから0になることが分かります。
このように、積分の始点と終点が一致する具体的な値を代入するのも大切です。
さて、１つ不定積分に対応するときの注意がありましたね。
積分して微分すると元に戻る
というのは直感的に正しいのですが、変数には注意する必要があります。
堺先生が１３分３０秒ごろから解説している注意も、きちんとおさえておきましょう。
積分される変数は何か？
そのときに残る変数は何か？
微分する変数は何か？
などを意識しながら、微分・積分を丁寧にとらえましょう。
対応方針さえ分かってしまえば、問題（１）、（２）の対処自体は難しくありません。
すごい見た目をした問題ですが、正しく対応すればスッキリ解ける感覚を、
授業動画の中から感じ取りましょう。
Chapter2
問題（３）を扱うチャプターです。
絶対値がらみの積分です。
絶対値がらみの積分ですが、基本は
絶対値を外して、処理する
ことになります。
ゴリゴリと、原始的な処理で絶対値を外していきましょう。
今回は、積分区間も文字になっていますから、
場合分けが必要になります。
場合分けですが、堺先生のスムーズの場合分けを鑑賞しましょう。
９パターンの図を考えていますが、
「同じ式を積分する」パターンは１つにまとめられますね。
最初の２つの図と、最後の２つの図が同じパターンにまとめられるのは見落としやすいです。
この後、ややこしい計算をすることになりますから、
場合分けをきちんと工夫して負担を減らしていきましょう。
さて、場合分けができたら……
そのあとも、ゴリゴリ計算していくことになります。
延々とごり押しの計算が続きますね 汗
ただ、そういう状況だからこそ、
細かい工夫が大切になっていきます。
多項式の係数だけを並べて、計算する
という、堺先生の筆算のような計算も大変上手いです。
また、
（Ⅰ）と（Ⅱ）の計算は、ただ符号を変えるだけ
なども見抜けることが大切です。
マイナス倍した関数を、同じ積分区間で積分しているのですから、
結果はマイナス倍になります。
「定数倍」は積分の外に出せるのと同じ理屈です。
この辺りの工夫を取り入れるかどうかで、
計算のスピードが全然変わってきます。
（Ⅲ）と（Ⅳ）の計算の関係性は、パッとは見えにくいです。
積分される関数がマイナス倍になっている
積分区間の一部が、「0」から「2」に変わっている
の２点から、
「ー１」をかけて「〇を足したもの」
という考え方をしています。
ここまでできたら達人級（？）かもしれません。
最初から、すべて堺先生と同じレベルで計算するのはハードルが高いです。
ですが、
漠然と計算するのではなく、工夫できるところは工夫する
という姿勢は本当に大切です。
正直に計算すると、積分計算は重いことが多いです。
常に工夫する姿勢を学び取りましょう。
そして、答えが出ても安心してはいけません。
これだけ重い計算をしたのだから、どこかで間違えてないか？
と疑う心も大切です。
堺先生の紹介している検算方法は大変有効なので、
ぜひ覚えておきましょう。
トップレベルを目指す皆さまは、
あの手、この手で点数をもぎ取る
姿勢が必要です。
ちょっと代入するだけで簡単に答えの検算ができる方法があるのですから、
やらないなんてあり得ない！
ぐらいの意識を持ちましょう。
ちなみに、数Ⅲを知っている人向けに、理論的な背景をちょっと補足しておきます。
元の問題は、
連続関数を積分
する問題です。
そのため、出てくる答えの関数はC１級……つまり、
連続で、微分したものも連続
じゃないか？ と予想がつきます。
今回の検算は、そこをついた検算になります。
（端点の値が一致するのが連続性で、
端点で重解をもつのが微分したものの連続性にあたります。）
ちょっと難しいですが、
こういう考え方ができると、オリジナルの検算なども浮かぶようになっていきます。