スタディサプリ 高1・高2 トップレベル数学ⅠAⅡB 第1講 2次方程式の解の配置 チャプター1|大学受験エリート

スタディサプリ 高1・高2 トップレベル数学ⅠAⅡB 第1講 2次方程式の解の配置 チャプター1

大学受験エリートのSuuです。

この記事では、スタディサプリの映像授業について、

「オススメの視聴法」

「授業のポイント」

などを、具体的に紹介していきます。

 

今回扱うのは、

高1・高2トップレベル数学ⅠAⅡB 第1講

2次関数の最大・最小

です。

 

この記事では、チャプター1について解説します。

 

Chapter1

最初から3分30秒まで、さらりと進みますが大事なエッセンスが詰まっています。

一つずつ確認しましょう。

 

関数の最大・最小→グラフをかいて視覚化

グラフをかいて考察するのが基本かつ王道です。

微分を習った後なら、増減表からグラフをかくのですが……

 

2次関数のグラフ→頂点の位置・2次の係数の符号を調べる

2次関数のグラフについては、微分や増減表は不要です。

頂点の位置と、「上に凸」か「下に凸か」が分かれば、

グラフの概形が掴めるのですが……

 

2次関数の頂点→平方完成

2次関数の頂点は、平方完成をすれば分かります。

頂点の位置の計算を間違えると、一貫の終わりです。

そのため、この平方完成は「検算」をするのが大切です。

検算の仕方は、二乗でまとめた部分を展開して元に戻るか?

を確認すればOK。

 

上記のようなストーリーから、

2次関数の最大・最小→平方完成してグラフを調べつくす!

というのが基本的な方針になります。

『解き方の暗記』ではなく、上記のストーリーを理解して、

問題の方針を立てられるとよいですね。

 

(1)の問題ですが、『すべての実数xに対して、f(x)>0が成り立つ』

という条件の意味を、正確におさえましょう。

xにどんな値を代入しても、f(x)が正! という意味ですが、

4分0秒~6分0秒の間の解説のように、

グラフとリンクさせて理解できているか?

が重要です。

「すべて」や「ある」など、抽象的で分かりにくい条件も、

グラフでとらえると処理方針が非常に見えやすくなります。

 

せっかくなので、補足の問いかけをしましょう!

数学の論理で重要な、「すべて」と「ある」についての理解を深める補足問題です。

問 『すべての実数xに対して、f(x)>0が成り立つ』を、

『ある実数xに対して、f(x)<0が成り立つ』に条件を変えて、

(1)の問題を解いてみよう!

 

 

さて、8分0秒~12分0秒の間では、判別式を用いた別解が紹介されています。

一番大事なのは、

『2次関数の頂点のy座標の符号を調べること』

『判別式Dの符号を調べること』

は同じという部分なのですが、この理由は分かりますか?

「同じだよ!」と先生に言われて、「同じなんだ~……」とそのまま覚えていては、もったいないです。

何故? を突き詰めて考えてみましょう。

んん? 理由が知りたいって?

……せっかくのトップレベル数学の講座ですから、ヒントを出すだけにとどめましょう。

ヒントは、『2次方程式の解の公式』にしましょうか。

2次方程式の解の公式の導出法を、平方完成と照らしあわせながら見返してみるといいですよ。

 

12分40秒頃から、(2)の解説に入ります。

そのまえに、(1)の解答方針を少しだけ振り返ってみましょう。

見方を変えると、(1)では、

『f(x)の最小値 > 0』

という条件を解いていると言えます。

(2)での考えも似ていて、

『x>aでのf(x)の最小値 > 0』

のような条件について考えていくことになります。

(最小値が存在しないことがあるため、精密にはこの条件ではダメですが。)

“最小値に注目している!”

というイメージを前提として、授業動画を見るといいですよ。

 

さて、(2)では場合分けが登場します。

このチャプター1のメインテーマですね。

授業動画の中で先生も言っていますが、場合分けは高校数学の一つの壁になります。

場合分けを習得するためには、

『なぜ、場合分けをしないといけないのか?』

をとらえる力を身につける必要があります。

 

今回の場合、

13分20秒から15分0秒の間で先生が話している内容が、

『なぜ、場合分けをしないといけないのか?』

の動機です。

この部分の先生の説明、ロジック、心をしっかり習得して欲しいです。

 

授業動画の解説とほとんど同じなのですが、少しだけ言葉を変えて『場合分けの動機』を示しておきます。

「x>aでの最小値を調べたい」のでだけど……

「x>aの範囲に、軸x=1が含まれる」→x=1で最小

「x>aの範囲に、軸x=1が含まれない」→x=aで“最小” (精密には、下限)

と、調べたい範囲x>aに軸が含まれるかどうかで、最小が変わってしまう。

aの具体的な値は不明なので、どちらのケースになるか分からなくて困っている。

どちらのケースなのか? で場合分け!

 

動画の後半部分で説明されている通り、どう場合分けすべきは問題の微妙な条件によって変わります。

そのため、『こう場合分けをしよう!』と一概に解説するのはムズカシイです。

場合分けは、暗記で対応するのが困難な領域です。

『場合分けの動機』をしっかり掴み、精密に解決していく論理の力が必要です。

 

繰り返しになりますが、場合分けはパターンを覚えるのではなく、『なぜ場合分けをするのか?』を自分でつかまえるのがポイントです!

15分30秒から16分40秒の間で、先生の話が熱くなるのは、ここを伝えからです。

『場合分けのパターンが知りたい!』という意図の質問に対して、それはできないんだよ、論理的に考えて処理する分野なんだよ……ということを伝えようとしているのです。

 

最後に、『問題によって、場合分けのまとめ方が変わる』ことを実感するための練習を紹介します。

問題文の『x>a』を『x≧a』に変えたり、

『f(x)>0』を『f(x)≧0』に変えたりして、場合分けのまとめ具合がどう変わるか?

を調べてみると、一概にパターン化できない! と実感しやすいです。

 

 

大学のランクが上がれば上がるほど、より複雑な場合分けを要求されるようになります。

2次関数の最大・最小は、場合分けの練習に最適です。

場合分けの力をつけるために、

『なぜ、場合分けをするのか?』

の動機に注目しながら、2次関数の最大・最小の問題を繰り返し演習しましょう。

 

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