大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを、具体的に紹介していきます。
今回扱うのは、
高３ トップレベル数学Ⅲ 第５講
媒介変数で表された曲線
です。
この記事では、チャプター１について扱います。
Chapter1
「媒介変数」と言うと堅苦しく、イメージしにくいですね。
授業動画の中でも冒頭に言っているように、
媒介変数＝パラメータ
だと思うとよいです。
……ん？ 「パラメータ」でも、イメージできない？
そうですよね。まったくもって普通の感覚です。
パラメータｔは、
時間を表すｔ
だと思うのが、この単元のポイントです。
（というか、時間=timeの頭文字をとって、文字tを使っています。）
トップレベル向けの授業動画ですが、念のため、基本的なイメージからおさらいしましょう。
（x,y）=（2t,t+1）
という「パラメータ表示」は、
「時間tのときに、点（x,y）はここにいるよ！」
ということを示すことで、曲線を指定します。
時間t=0 のとき、 （x,y）＝（0,1）
時間t=1 のとき、 （x,y）=（2,2）
……
といった感じで、時間tにおける点の位置を示しているイメージを持ちましょう。
“アリさん”が、平面上を移動すると想像してもＯＫです。
３分３０秒～４分４０秒
『円が、直線上を滑らずに転がる』
を、きちんとイメージしましょう。
先生の実演（！？）も非常に面白いので、一度は見ておくことをオススメします！
動画の中の先生の顔の動きをよく見て、「滑らずに転がる」動きをとらえましょう。
視覚的にとらえた後は、“数式として”の処理の仕方も覚えておいてください。
円が直線上を滑らずに転がるとき、
『円が移動した距離＝円周上の点が動いた弧の長さ』
が成り立ちます。
これが成り立つのが、「滑らずに」が言わんとしていることです。
動画の９分０秒頃の板書で言うと
OR＝弧RQ
が成り立ちます。
これが、
『円が移動した距離＝円周上の点が動いた弧の長さ』
の具体例で、円が滑らずに転がる……と聞いたら、この関係式を思い出しましょう。
６分２０秒～８分３０秒ごろの間、先生が説明しようとしているのはこのポイントです。
ベクトルの使い方
ベクトルは使いこなせると非常に便利です。
ベクトルはベクトルの問題解くためにある！ のではなく、平面図形を処理するときに自由に使いこなすためにあります。
この動画には、平面ベクトルを実践で応用するエッセンスが詰まっていますので、注目しましょう。
問題（１）では、点Ｐや点Ｑの座標をするのが目的です。
動画１０分０秒以降から、平面ベクトルを利用して点Ｐ、Ｑの座標を計算していきます。
このときのポイントを、①～③にまとめました。
動画を視聴する際の参考にしてください。
①ベクトルの分解→点の位置関係の分解
点Ｐの座標とは、「原点Ｏと点Ｐの位置関係」を表すものです。
これを、
「原点Ｏと点Ｐの位置関係」＝「原点Ｏと点Ｒの位置関係」＋「点Ｒと点Ｐの位置関係」
と分解して扱えるのが、ベクトルのいいところです。
最初の原点との位置関係はパッと分からなくても、原点とＲ、ＲとＰの位置関係なら容易に把握できる！
そんな場面で威力を発揮します。
この問題が、まさにそのシチュエーションです。
②ラジアン単位の意味→角度＝弧の長さ
動画の１６分３０秒ごろ、突然
∠RPQ＝2t
という値が図に書きこまれます。
ここは、ラジアン単位の意味から導かれています。
「単位円周上で、点がある角度回転したときに動く弧の長さで、その長さを表す！」
がラジアンの意味です。
具体的には、単位円周上を一周する、つまり360°の回転を、
一周の円弧2πで表す！ ということですね。
この場合、弧QRの長さが2tなので、その弧と対応する回転角の∠RPQの大きさも2tになります。
『180°＝π』 みたいな暗記で終わらず、単位の意味まで含めて、
しっかり理解することが大切です。
③回転角の捉え方→負の偏角を使おう！
OR、RP、PRのベクトルの成分を計算する際、
長さがr、偏角がθのベクトルが
r(cosθ、sinθ)
で表されることを使っています。
ベクトルの長さは図からすぐに分かるのですが、
問題は偏角θです。
地味ながら、正確に計算するのにはコツがあります。
あれこれ補助線を引いて、等しい角度を見つけて……とやるのは大変です。
この授業動画でやっている方法は、負の偏角をうまく使う方法です。
反時計まわりに回転→正の偏角
時計まわりに回転→負の偏角
と捉えて、それらを足し合わせればいい！
という発想ですね。
このポイントをおさえて、
１１分０秒～１１分５０秒
１２分３０秒～１３分４０秒
１５分２０秒～１７分３０秒
をじっくり見てください。
平行線や相似な三角形を見つけるよりも、
負の偏角（逆回転）も使いこなし、
『どれだけ回転したのか？』
の足し合わせで処理するとやりやすいですよ。
実は、ここまでに数Ⅲの内容はあります。
ですが、大学受験の数学で重要な内容が詰まっています。
『円が滑らずに転がる』
『ラジアンの意味』
『平面ベクトルの利用』
『偏角を使った小技』
を記事の中で取り上げました。
問題（２）へ続く前座と思わず、これらの受験数学のエッセンスを、
きっちりと学習しましょう。