るるぶ高校数学 数Ⅰ ④三角比 その4 正弦定理、余弦定理|大学受験エリート

るるぶ高校数学 数Ⅰ ④三角比 その4 正弦定理、余弦定理

こんにちは、大学受験エリートのSuuです。

 

高校数学の勉強のポイント、見どころなどを紹介する

るるぶ高校数学のシリーズです。

 

今回は、

数Ⅰ 三角比 その4 正弦定理、余弦定理

です。

→前回

 

しつこいですが、三角比の計算練習は順調でしょうか。

有名角の三角比を暗記したりしていませんよね?

ちゃんと、毎回定義に戻って思い出して下さいね。

分数の通分・約分をサクサクできる勢いで、

三角比の計算がサクサクできるようになっていないと、今後が苦しいです。

まだ身についていない人は、何度も戻って計算練習を積み重ねましょう。

 

さて、いよいよ正弦定理と余弦定理の登場です。

三角比の勉強は、この2つ定理を学ぶためにしてきたと言っていいです。

 

正弦定理と余弦定理は、平面図形の問題を処理するときの強力な道具になります。

『平面図形の問題なんか嫌いだよ、アレコレ補助線引くのなんか思い浮かばないし……』

なんて悩んでいる人にこそ、この2大定理を習得して欲しい。

2大定理をちゃんと使いこなせば、補助線なんてほとんど引かずに、

『適当にガチャガチャ計算すれば図形の問題が解ける』

ようになっていきます。

 

正弦定理と余弦定理ですが、大体の問題は余弦定理が解決してくれます。

余弦定理では手が届かない部分を、そっと正弦定理が補ってくれる印象です。

非常にいいコンビだと思います。

 

この記事では、△ABCに対して、角A、B、Cの向かい合う辺の長さをそれぞれa,b,cで表すことにします。

 

ポイント① 正弦定理

△ABCに対して、

a/sinA=b/sinB=c/sinC (=2R)

が成り立ちます。これが正弦定理です。

(Rは△ABCの外接円の半径)

 

使いどころはのちほど説明しますが、非常にまとまった式になっています。

(個人的な意見ですが、高校数学で習う公式の中で美しさNo.1だと思っています。)

 

「比」の感覚があるかどうかで、正弦定理の式の見え方が変わってきます。

大雑把に言うと、

「分数」=「比」

です。具体的には、

x/y=z/wのとき、x:z=y:wが成り立ちます。

分数が等しいかどうかは、比が等しいかどうかと同じことです。

 

この視点で正弦定理を眺めると、

a:b:c=sinA:sinB:sinC

という意味になります。

三角形の3辺の長さの比は、向かい合う角のsinの比と等しい

という意味で、三角形の辺と角度の関係を非常に端的に表現しています。

 

さらに別の見方もできて、

a:sinA=b:sinB=c:sinC

という見方もできます。

三角形の辺と向かう角のsinの比は、常に一定

ということを主張し、さらにオマケで

その比の値は、外接円の直径(半径の2倍)

ということも得られます。

 

三角形とは何か?

の情報が色々と詰まった、非常に面白い式です。

暗記すべき式ですが、上記のような数式の意味が分かると、

自然と頭に入りやすくなります。

 

余裕のある人は、証明も勉強しておきましょう。

補助線一発で華麗に落とすので、見ていて気持ちがいい証明です。

また、

「3つのものが一致する」

というややこしい命題をどう証明するのか?

も参考になると思います。

 

ポイント② 余弦定理

△ABCに対して、

c2=a2+b2-2abcosC

が成り立ちます。これを余弦定理といいます。

 

初見時はビビりますが、慣れしたんだある公式の拡張になっています。

C=90°、つまり直角三角形のときを考えましょう。

cos90°=0に注意すると、

c2=a2+b2

となります。

これは三平方の定理そのものです。

 

三平方の定理は直角三角形限定の定理でしたが、

余弦定理はどんな三角形にも使えます。

余弦定理は、由緒正しい三平方定理の正統後継者のようなイメージです。

 

余弦定理については、きちんと暗記しましょう。

最初は中々覚えにくいかもしれません。

覚えるコツは……

三平方の定理だと思って、

c2=a2+b2

まで書いたあと、

補正として -2abcosC を加える

というイメージで覚えています。

 

ここまで、図形の問題では三平方定理を多用してきたと思います。

同じように、正統後継者である余弦定理も多用されます。

しっかり暗記しておかないとマズイ公式なので、注意しましょう。

 

余裕のある人は証明も見ておきましょう。

本質的には、三平方の定理でゴリゴリ計算するだけです。

途中、

『斜辺の長さがrの直角三角形の、底辺がrcosθ、高さがrsinθ』

という感覚を使います。

この使い方や、ゴリゴリの計算過程が鑑賞ポイントです。

 

ここからは余談です。

数学の理論とは恐ろしいもので、「ベクトル」の世界に行くと

展開公式 (a-b)2=a2-2ab+b2

さえ知っていれば、余弦定理が自動で使える

ようになります。

このような世界を理解すると、上記の展開公式から一瞬で余弦定理が思い出せたりします。

凄まじいですね。

 

ポイント③ 正弦定理、余弦定理の使いどころの判断基準

学習をしていくと、

正弦定理と余弦定理、どっちを使ったらいいの?

と迷うと思います。

理想は、問題演習を通じて、どちらの公式を使うのか判断する練習をすることですが……

ポイントを紹介しておきましょう。

 

まず、どっちか迷ったら

とりあえず余弦定理

から疑いましょう。

大げさに言うと、9割がた余弦定理が解決してくれます。

余弦定理がダメなら正弦定理を使うかー、ぐらいの気持ちでも最初はいいと思います。

 

とはいえ、しっかりした理屈も知っておきましょうか。

三角形の合同条件と照らして理解するのが、1つのやり方です。

 

㋐3辺の長さが分かっている →余弦定理

㋑2辺とその間の角が分かっている →余弦定理

㋒1辺とその両端の各が分かっている →正弦定理

という分類が定番です。

定理を使いたい三角形を眺めて、

辺や角度の、どの情報が分かっているのか?

を整理して、正弦定理か余弦定理のどちらを使うか判断しましょう。

 

また、「外接円の半径」が絡んだ場合は正弦定理を使います。

 

ポイント④ 正弦定理、余弦定理で計算するときのコツ 変形してから代入!

さて、ここからは少し実戦的なコツを紹介します。

余弦定理

c2=a2+b2-2abcosC

ですが、

『a,b,cが分かっていて、そこからCを求めたい』

という状況で使うことも多いです。

そういうときは、

cosC=(a2+b2-c2)/2ab

と変形してから計算するのがコツです。

 

正弦定理や余弦定理に限らず、

代入してから、変形して計算

よりも、

変形して式を整理してから、代入

する方がスムーズなことが多いです。

(中学生のときに、似たようなことを習ったかもしれません)

 

代入してから計算することが間違いではないのですが、

計算を早く正確に行うための細かい技術として、変形→代入が基本です。

小さな差ですが、こういう細かい技術の積み重ねが大きな差になっていきます。

普段の演習から気を付けて、正しい型をクセにしていきましょう。

 

 

ポイント①~④を振り返りましょう。

正弦定理、余弦定理をきちんと覚えて……

使い分けの基準を意識して……

「変形→代入」の順番を守って……

ということでした。

ここが意識できれば、あとはガンガン練習するだけです。

実際の演習を通じて、

三角形に対して正弦定理・余弦定理を使う感覚を習得していきましょう。

 

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